Несколько максимумов у плотности случайной величины

[Nimza]

Вот такой интересный вопрос возник. Капитал страховой компании:

$U(t) = u + ct - S(t)$

где $u>0$ --- стартовый капитал, $c>0$ --- страховая премия в единицу времени, $S(t)$ --- сложный пуассоновский процесс (сумма паретовских случайных величин). Строю гистограмму распределения времён разорения при некоторых значениях параметров и, о чудо, у меня получается несколько максимумов у гистограммы. Иногда даже получаются волны. Как это можно объяснить (проинтерпретировать)?

Например, $U(t) = 10000 + t - 1000N(t)$, $N(t)$ --- пуассоновский процесс интенсивности $0,01$. Ищем минимальное $t$ такое, что $U(t) = 0$. То есть решаем уравнение $10000+t = 1000N(t)$. Плотность минимального решения имеет несколько локальных максимумов. У меня не получается это проинтерпретировать.

[Хорхе]

Картинка выглядит очень странно. Какой-то аномальный обрыв ровно на тысяче и ровно на двух (хотя и не такой заметный). Ищите ошибку в программе.

-- Чт ноя 24, 2011 20:47:43 --

Кстати, Вам надо искать минимальное решение не уравнения, а неравенства. Что Вы там ищете, непонятно, но решение уравнения, как несложно видеть, всегда кратно тысяче.

[Nimza]

Ой, я описался. Конечно, неравенства! $U(t) \leqslant 0$. Вот обрывы то мне и интересны. Да программа то элементарная, просто в цикле генерирую очередное время скачка и проверяю, стало ли $U(t)$ после скачка меньше либо равно нулю.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы действительно начал с поиска банальной ошибки в программе. С другой стороны, если у Вас страховые выплаты имеют распределение Парето - у них хвосты очень уж тяжёлые. Может быть, в результате у Вас сходимость мала или вовсе отсутствует. Редкие, но огромные выбросы всё портят. Но всё же - программа. Может быть, взглянуть на неё?

[Nimza]

Вот ещё раз переписал для случая $U(t) = 10000+t-1000N(t)$, чтобы влияния Парето точно не было. Код на Матлабе.

N = 10000; %размер выборки
c = 1; %премия в единицу времени
u = 10000; %начальный капитал
a = 1000; 
lambda = 0.01; %интенсивность пуассоновского процесса
t = zeros([N,1]); %выборка

for n=1:N
    t_cur = 0; %текущий момент времени
    U_cur = u; %текущий капитал
    while U_cur > 0 %пока капитал положителен
        t_old = t_cur; %капитал к моменту предыдущей выплаты
        t_cur = t_old + gExp(1,lambda); %получаем следующий момент выплаты
        U_old = U_cur; %капитал к моменту предыдущей выплаты
        U_cur = U_old + c*(t_cur - t_old) - a; %текущий капитал после выплаты
    end
    t(n) = t_cur;
end

x = linspace(0,5000,100);
[emp,~] = hist(t,x);
bar(x,emp./(N*(x(2)-x(1))));

[Хорхе]

А что такое gExp? И чем exprnd плох?

[Nimza]

То же самое. Поменял gExp(1,lambda) на exprnd(1/lambda). Ничего не изменилось.

[Хорхе]

Да, у меня в octave тоже такая невразумительная дребедень получается. Странно это, надо подумать, в чем дело.

-- Пт ноя 25, 2011 00:56:52 --

Ага, кажись понял. Все довольно просто.

[Nimza]

В чём же дело?

[Хорхе]

Дело в постоянности страховой выплаты.

Откуда берется это переломное значение - 1000? Это время, необходимое, чтобы накопить сумму, достаточную для еще одной страховой выплаты. Одиннадцать выплат до момента 1000 разоряют нас. А после этого момента - нет. То есть приблизительно до момента 1000 мы имеем плотность одиннадцатой выплаты, а после этого момента -- плотность двенадцатой в пересечении с событием $N(1000)< 11$, а после 2000 -- плотность тринадцатой в пересечении с $N(1000)< 11,N(2000)< 12$.

Возьмите действительно какую-нибудь более (вероятностно) размазанную страховую выплату, и эффект будет куда менее выразительный.

[Nimza]

Офигенно! Спасибо! Вот откуда волны-то брались)