2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 18:59 


23/11/11
5
Найти радиус сходимости:
$\sum^{\infty}_{n=1} (1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{x^n}$

нашла интервал ${\frac{1}{-e}}<x<{\frac{1}{e}}$

Исследуем границы интервала:
при $x={\frac{1}{e}}$: $\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{U_n}$ $=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{e})^n}}$ $=\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}{(\frac{1}{e})}}$ $={(\frac{1}{e})}\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$={\frac{1}{e}e=1}$ ??? что дальше делать? Как еще можно исследовать? Сори, не хватает знаний.

при $x={\frac{1}{-e}}$: $\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{U_n}$ $=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{-e})^n}}$ $=\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}{\frac{1}{-e}}}$ $={\frac{1}{-e}}\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$={\frac{1}{-e}e=-1}$ А это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
У Вас общий член к чему стремится-то в итоге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 19:53 


23/11/11
5
Начало:
$=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{\left |(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{x})^n}|}$$=\left |{\frac{1}{x}} |\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$=\left |{\frac{1}{x}} |e$
$=\left |{\frac{1}{x}} |e<1$
откуда получаем:
${\frac{1}{-e}}<x<{\frac{1}{e}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да это понятно всё. На границе-то конкретно что происходит? Вот в этой вот крайней правой (для начала) точке? Общий член куда стремится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 20:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
tanchik-78 в сообщении #507049 писал(а):
$={\frac{1}{e}e=1}$ ??? что дальше делать?

Дальше -- да, так дёшево не отделаешься. Ясно, что на границе этот предел равен единице, можно было и не считать. Надо аккуратнее. Например:

$\ln U_n=\ln\big(1+\frac1n\big)^{n^2}\cdot e^{-n}=n^2\big(\frac1n-\frac1{2n^2}+O(n^{-3})\big)-n=-\frac12+O(n^{-1})\to\ ...\;,$

откуда.

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #507075 писал(а):
Общий член куда стремится?

Заранее так сразу не скажешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Границы интервала области сходимости
Сообщение23.11.2011, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории

(Оффтоп)

...тут явился ewert и продал идею (логарифм) по демпинговой цене.
Эх!..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group