Границы интервала области сходимости

[tanchik-78]

Найти радиус сходимости:
$\sum^{\infty}_{n=1} (1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{x^n}$

нашла интервал ${\frac{1}{-e}}<x<{\frac{1}{e}}$

Исследуем границы интервала:
при $x={\frac{1}{e}}$: $\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{U_n}$ $=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{e})^n}}$ $=\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}{(\frac{1}{e})}}$ $={(\frac{1}{e})}\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$={\frac{1}{e}e=1}$ ??? что дальше делать? Как еще можно исследовать? Сори, не хватает знаний.

при $x={\frac{1}{-e}}$: $\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{U_n}$ $=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{-e})^n}}$ $=\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}{\frac{1}{-e}}}$ $={\frac{1}{-e}}\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$={\frac{1}{-e}e=-1}$ А это правильно?

[ИСН]

У Вас общий член к чему стремится-то в итоге?

[tanchik-78]

Начало:
$=\lim _{n\to {\infty}} \sqrt[n]{\left |(1+{\frac{1}{n}})^{n^2}{(\frac{1}{x})^n}|}$$=\left |{\frac{1}{x}} |\lim _{n\to {\infty}} {(1+{\frac{1}{n}})^{n}}$$=\left |{\frac{1}{x}} |e$
$=\left |{\frac{1}{x}} |e<1$
откуда получаем:
${\frac{1}{-e}}<x<{\frac{1}{e}}$

[ИСН]

Да это понятно всё. На границе-то конкретно что происходит? Вот в этой вот крайней правой (для начала) точке? Общий член куда стремится?

[ewert]

tanchik-78 в сообщении #507049 писал(а):

$={\frac{1}{e}e=1}$ ??? что дальше делать?

Дальше -- да, так дёшево не отделаешься. Ясно, что на границе этот предел равен единице, можно было и не считать. Надо аккуратнее. Например:

$\ln U_n=\ln\big(1+\frac1n\big)^{n^2}\cdot e^{-n}=n^2\big(\frac1n-\frac1{2n^2}+O(n^{-3})\big)-n=-\frac12+O(n^{-1})\to\ ...\;,$

откуда.

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #507075 писал(а):

Общий член куда стремится?

Заранее так сразу не скажешь.

[ИСН]

(Оффтоп)

...тут явился ewert и продал идею (логарифм) по демпинговой цене.
Эх!..