свойства функции y=a^x

[yonkis]

какие из утверждений верны для функции $y=a^x$
1)$D(y)=R$
2)$E(y)$ - множество всех неотрицательных действительных чисел
3) график проходит через начало координат
4) график проходит через точку $(0;1)$
5) непрерывна на всей области определения
6) периодическая
7) возрастает в области определения

я думаю правильные ответы под цифрами: 1, 3, 4, 5
если что-то неверно, исправьте пожалуйста

[Andrei94]

И все-таки -- чему равен $y$ при $x=0$?
Вы постройте график, тогда все вопросы отпадут.

Предлагаю рассмотреть 2 случая

1) $a=2$

2) $a=1/2$

[JMH]

Ответьте на следующие вопросы, тогда, может быть и сами исправите:
- может ли функция принимать отрицательные значения?
- Каково значение функции в точке x=0?
- Как изменяется значение функции с увеличением значения аргумента?

[yonkis]

получается, что верно только: 1, 4, 5

[gris]

А множество значений? Рассмотрите область определения обратной функции.

[yonkis]

область значений $(0;+\infty)$

[gris]

вернее $(0;+\infty)$
Ну а словами — все положительные действительные числа.

Пардон, 2 не проходит, там неотрицательные.

[Sender]

Andrei94 в сообщении #506841 писал(а):

И все-таки -- чему равен $y$ при $x=0$?
Вы постройте график, тогда все вопросы отпадут.

Предлагаю рассмотреть 2 случая

1) $a=2$

2) $a=1/2$

Можно ещё рассмотреть случай

3) $a=0 \vee a=1$.
Тут и периодичность появится.

[Хорхе]

Sender в сообщении #506899 писал(а):

Andrei94 в сообщении #506841 писал(а):

3) $a=0 \vee a=1$.
Тут и периодичность появится.

Во-первых, показательную функцию обычно лишь при $a>0$ рассматривают. Во-вторых, при $a=0$ периодичности все равно не будет.

[Sender]

Хорхе в сообщении #506900 писал(а):

Цитата:

Во-вторых, при $a=0$ периодичности все равно не будет.

Почему не будет? Функция $f(x)=0^x$определена при $x>0$. Возьмём произвольное $T>0$ . $\forall x>0\: f(x+T)=f(x)$.

[gris]

Вот повод для терминологической битвы.

В школьном определении периодической функции имеется двойное равенство $f(x)=f(x+T)=f(x-T)$ при, естественно, принадлежности $x, x\pm T$ к области определения.
А в дальнейшем остаётся только $f(x)=f(x+nT)$, где кто-то считает $n$ натуральным, а кто-то целым.

[ewert]

Естественно, целым. Ибо весь пафос в том, что множество периодов образует группу. Соответственно, функция, заданная на полуоси, периодической считаться не может.

[gris]

Пафос пафосом, а определение в некоторых авторитетных источниках попускает считать синус на домене $[2;+\infty)$ периодической функцией.
Хотя я считаю, что это весьма не существенно, однако вот так вот как оно тут как бы получается.

[ewert]

gris в сообщении #506914 писал(а):

определение в некоторых авторитетных источниках попускает считать синус на домене $[2;+\infty)$ периодической функцией.

В каких?...

Смысл периодичности в том, что функция не меняется при сдвиге аргумента. Причём не меняется в точном смысле, иначе проку от такой "периодичности" никакого.

[gris]

Я согласен. Я не о том. Я о том, как этот смысл формально получить из формального определения.

A function $f(x)$ is said to be periodic <...> with period $p$ if $f(x)=f(x+np)$ for $n=1,2...$.

Ваш обожаемый Wolfram MathWorld.

Хотя, наверное, можно потребовать, что если правая часть определена, то и левая должна быть определена, иначе равенство не выполняется. Ведь в данном определении нет слов о принадлежности $x$ домену. А в определениях с целым $n$ есть эти слова.
В некоторых определениях явно говорится, что область определения является абелевой группой.