2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 свойства функции y=a^x
Сообщение23.11.2011, 00:52 
какие из утверждений верны для функции $y=a^x$
1)$D(y)=R$
2)$E(y)$ - множество всех неотрицательных действительных чисел
3) график проходит через начало координат
4) график проходит через точку $(0;1)$
5) непрерывна на всей области определения
6) периодическая
7) возрастает в области определения

я думаю правильные ответы под цифрами: 1, 3, 4, 5
если что-то неверно, исправьте пожалуйста

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 01:09 
И все-таки -- чему равен $y$ при $x=0$?
Вы постройте график, тогда все вопросы отпадут.

Предлагаю рассмотреть 2 случая

1) $a=2$

2) $a=1/2$

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 01:52 
Аватара пользователя
Ответьте на следующие вопросы, тогда, может быть и сами исправите:
- может ли функция принимать отрицательные значения?
- Каково значение функции в точке x=0?
- Как изменяется значение функции с увеличением значения аргумента?

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 08:11 
получается, что верно только: 1, 4, 5

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 08:21 
Аватара пользователя
А множество значений? Рассмотрите область определения обратной функции.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 08:31 
область значений $(0;+\infty)$

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 08:37 
Аватара пользователя
вернее $(0;+\infty)$
Ну а словами — все положительные действительные числа.

Пардон, 2 не проходит, там неотрицательные.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 09:05 
Andrei94 в сообщении #506841 писал(а):
И все-таки -- чему равен $y$ при $x=0$?
Вы постройте график, тогда все вопросы отпадут.

Предлагаю рассмотреть 2 случая

1) $a=2$

2) $a=1/2$


Можно ещё рассмотреть случай

3) $a=0 \vee a=1$.
Тут и периодичность появится.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 09:21 
Аватара пользователя
Sender в сообщении #506899 писал(а):
Andrei94 в сообщении #506841 писал(а):

3) $a=0 \vee a=1$.
Тут и периодичность появится.

Во-первых, показательную функцию обычно лишь при $a>0$ рассматривают. Во-вторых, при $a=0$ периодичности все равно не будет.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 09:46 
Хорхе в сообщении #506900 писал(а):
Цитата:
Во-вторых, при $a=0$ периодичности все равно не будет.

Почему не будет? Функция $f(x)=0^x$определена при $x>0$. Возьмём произвольное $T>0$ . $\forall x>0\:  f(x+T)=f(x)$.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 10:04 
Аватара пользователя
Вот повод для терминологической битвы. :-)

В школьном определении периодической функции имеется двойное равенство $f(x)=f(x+T)=f(x-T)$ при, естественно, принадлежности $x, x\pm T$ к области определения.
А в дальнейшем остаётся только $f(x)=f(x+nT)$, где кто-то считает $n$ натуральным, а кто-то целым.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 10:12 
Естественно, целым. Ибо весь пафос в том, что множество периодов образует группу. Соответственно, функция, заданная на полуоси, периодической считаться не может.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 10:21 
Аватара пользователя
Пафос пафосом, а определение в некоторых авторитетных источниках попускает считать синус на домене $[2;+\infty)$ периодической функцией.
Хотя я считаю, что это весьма не существенно, однако вот так вот как оно тут как бы получается.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 10:56 
gris в сообщении #506914 писал(а):
определение в некоторых авторитетных источниках попускает считать синус на домене $[2;+\infty)$ периодической функцией.

В каких?...

Смысл периодичности в том, что функция не меняется при сдвиге аргумента. Причём не меняется в точном смысле, иначе проку от такой "периодичности" никакого.

 
 
 
 Re: функция y=a^x
Сообщение23.11.2011, 11:11 
Аватара пользователя
Я согласен. Я не о том. Я о том, как этот смысл формально получить из формального определения.

A function $f(x)$ is said to be periodic <...> with period $p$ if $f(x)=f(x+np)$ for $n=1,2...$.

Ваш обожаемый Wolfram MathWorld.

Хотя, наверное, можно потребовать, что если правая часть определена, то и левая должна быть определена, иначе равенство не выполняется. Ведь в данном определении нет слов о принадлежности $x$ домену. А в определениях с целым $n$ есть эти слова.
В некоторых определениях явно говорится, что область определения является абелевой группой.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group