Верхний предел sin(n) для натуральных n

[DLL]

Надо найти верхний предел выражения $\sin (n),n \in N$, предполагаю, что единица, но как доказать

[gris]

можно показать, что точка $\pi/2$ является предельной для некоторого множества.

[Shadow]

А если задача была: Найдите натуральное n такое, что $\sin(n)>0.999999$. Или сколь угодно близкое к 1. Как бы решали?

[ИСН]

Взяли бы цепные дроби для $\pi/2$ да пошли махаться с деревенскими.

[Shadow]

А я посмотрл на десятичную запись $\dfrac{\pi}{2}$, выбрал несколько знаков и умножил нах 3. Только не стреляйте в пианиста, ладно.

[Shadow]

Я запутался с этой задачей.
$ \\\dfrac{\pi}{2}(4k+1)\approx n\\ \\ \dfrac{\pi}{2}\approx\dfrac{n}{4k+1} $
Думал, что достаточно найти нужное рациональное приближение $\frac{\pi}{2}$ и задача решена, но оказывается что нет.
$ \\\dfrac{n}{4k+1}=\dfrac{\pi}{2}+\varepsilon\\ \\ n=\dfrac{\pi}{2}(4k+1)+\varepsilon(4k+1) $
И вот это $\varepsilon(4k+1)$ достаточно большое чтобы испортить результат.

[Legioner93]

(Оффтоп)

Странно, что ещё никто не попросил автора доказать утверждение "$\sin(n)$ всюду плотно на $[-1,1]$". Ведь из этого факта сразу же следует то, что и нужно автору

[ИСН]

Рациональные приближения, знаете ли, разные бывают.

[DLL]

Shadow в сообщении #506845 писал(а):

И вот это $\varepsilon(4k+1)$ достаточно большое чтобы испортить результат.

Да, да, я тоже о таком подумывал

А можно какую-нибудь дельную подсказку, как это доказать? Общие фразы я понимаю

[Shadow]

topic48853.html
А я попробую с цепными дробями.
Upd. Да, с цепными дробями все прекрасно получается