Разбиение пространства плоскостями (подсчет числа частей)

[ИСН]

То-то же. Так. А если саму эту прямую пересекают один раз? Если ни разу - то понятно, а если один раз? Сколько частей плоскости она добавит тогда?

[Unconnected]

Если уже вне контекста тех семи прямых, то - добавит 2 части..

Кажется, понимаю, к чему дело идёт. Если положить первую плоскость плашмя, как столешницу, а потом перпендикулярно ей проводить одну за одной попарно не-параллельные плоскости, то выходит то что надо, только ещё на 2 умножать, т.к. сверху и снизу..
И ответ $4n-4$ получается..

[ИСН]

Две, да. Так...
Я правильно понял, что с прямыми на плоскости Вам уже всё настолько ясно, что не хочется уделять им ни секунды более? И что там получилось в итоге? Давайте сначала с этим покончим, а потом уже за пространство...

[ewert]

Unconnected в сообщении #506816 писал(а):

$n+1$.. только что из этого следует, не вижу.

Обозначьте через $L_n$ количество кусков, на которые разбивают плоскость $n$ прямых. Добавьте ещё одну прямую, причём так, чтобы она пересекалась с каждой из предыдущих, причём в разных точках.

На сколько кусков разбивается добавленная прямая предыдущими? Сколько дополнительных кусков плоскости добавляется наложением этой прямой? Т.е., собственно: каково рекуррентное соотношение между $L_n$ и $L_{n+1}$?

Потом, когда явная формула для $L_n$ будет найдена, выводите аналогичным образом рекуррентное уравнение для $P_n$ (для количества кусков, на которые разбивают пространство $n$ плоскостей).

[Unconnected]

Если провести плоскость, и перпендикулярно ей проводить плоскости, чтобы любые 3 линии пересечения не пересекались в одной точке - окончательный ответ $n^{2}+n+2$ для n>1. Не знаю, к этому ли решению Вы подводили, но конкретно такое расположение плоскостей - неправильное, т.к. тут может быть вариант, что какие-то две плоскости вообще не пересекаются.

[ИСН]

К задаче с плоскостями мы ещё даже не приблизились. Отложите её совсем, в чемодан, на антресоли.
(Похоже, ewert считает иначе. Ну, если понимаете смысл его сообщения, можете ему следовать, а моё забыть. Тоже хорошо.)
Короче, пока так. Одна плоскость и n прямых общего положения. А плоскость одна. На сколько кусков они её разделят?

[Unconnected]

Общего положения - если это значит, что в одной точке никакие 3 прямые не пересекаются, то $(2+n)\cdot(n-1)/2 +2$ (т.к. будет $n-1$ точка пересечения, и каждые 2 из них - вестники новой части. В общем, не могу точно объяснить)). А если все пересекаются в одной точке, то $2n$.

ps: пост ewert правда не очень понял, да.. ну, лучше медленно, но верно)

[ИСН]

Unconnected в сообщении #506974 писал(а):

Общего положения - если это значит, что в одной точке никакие 3 прямые не пересекаются

- да, именно это -

Unconnected в сообщении #506974 писал(а):

то $(2+n)\cdot(n-1)/2 +2$

Проверяем: 0 прямых - одна часть, 1 прямая - две, 2 прямых - 4, 3 - тогда 7...
похоже на правду.
Так.

-- Ср, 2011-11-23, 16:30 --

Ну значит, достаём с антресолей чемодан и вытаскиваем оттуда задачу с плоскостями! Одна плоскость, которая ни с чем не пересекается, сколько породит новых кусков (отсечёт от пространства)? Один. А если она (плоскость) сама пересечена на 2 части? А если на... ну и т.д.

[Unconnected]

То есть, как я и говорил - есть плоскость, и её пересекают другие, так, что линии пересечения этих плоскостей с самой первой по три нигде не пересекаются? Тогда, как сказал сегодня преподаватель, так не катит, потому что некоторые плоскости могут не пересекаться друг с другом. А нужно, чтобы все со всеми где-то в одной точке контачили.. Или тут так и получается?

[ИСН]

C какого потолка Вы списали это "то есть"? Я ничего не говорил о положении плоскостей в Вашей задаче (оно описывается словами "общее положение", но об этом потом). Я только спросил: если плоскость проходит вот так - безотносительно к тому, проходит ли она так в задаче, да и может ли она так проходить вообще - то сколько кусков...

[Unconnected]

А, я думал это уже как бы финальный штрих) Тогда - $(2+n)\cdot(n-1) +4$. Это если пересекающие плоскости перпендикулярны данной, и больше 3х в одной точке не пересекаются.

[ИСН]

Подставляем 1, получаем 4. Одна плоскость разбивает на 4 части?
Подставляем 2, получаем 8. Две плоскости разбивают на 8 частей?
И к тому же вопрос не об этом был вообще.

[Unconnected]

Т.е. просто проводим через плоскость другие плоскости? Тогда количество частей зависит от того, как их проводить (они могут пересекаться между собой\быть параллельными)..

[ИСН]

ИСН в сообщении #506979 писал(а):

Одна плоскость, которая ни с чем не пересекается, сколько породит новых кусков (отсечёт от пространства)?

[Unconnected]

Ну, было один, станет два, прибавило один..