Разбиение пространства плоскостями (подсчет числа частей)

[Unconnected]

Пусть дано $n$ плоскостей в трехмерном пространстве, причем эти плоскости находятся в общем положении, т.е. любые три пересекаются по одной точке. На сколько частей они разбивают пространство?

По-моему, вполне очевидно $2^{n}$. Но почему-то не зачли.

[neo66]

Наверно потому, что это неверно.

[svv]

То есть сначала вроде верно (до $n=3$ включительно), но потом -- нет.

Размерности пространства начинает не хватать на Вашу формулу. Очередную плоскость не получается провести так, чтобы разбить каждую имеющуюся часть ещё на две.

[ИСН]

Пространство очень сложно, практически непостижимо. Мы родились в плоскости, в ней и следует оставаться. Вот плоскость; на сколько частей её можно разбить n прямыми?

[Unconnected]

А для $n>3$ воображалки не хватило)

Цитата:

Вот плоскость; на сколько частей её можно разбить n прямыми?

Каждая новая прямая разбивает какие-то два "полупространства" на 4, т.е. прибавляет 2... $2n$?

А в пространстве плоскость иногда может разбить все существующие на 2.. а потом, наверное, начинает прибавлять 2. Представить не могу)

[ИСН]

Дык я и говорю.
На самом деле, тут надо начинать от дедов, от прадедов: вот прямая и n точек. Они её на сколько разобьют?

[Unconnected]

$n+1$.. только что из этого следует, не вижу.

[ИСН]

Погодите. Так. Теперь плоскость и прямые. Тут хитрость. Щас.

-- Ср, 2011-11-23, 01:13 --

Значит, так. Пусть нашу прямую никто не пересекает. Ну, повезло так: все остальные как-то прошли, а её не пересекли. (Или нету их, остальных.) Она, будучи проведена, сколько добавит к количеству частей плоскости?

[Unconnected]

Эмм что значит прямую никто не пересекает? В смысле, никакая плоскость? И кто "будучи проведена" ?

[ИСН]

Никакая прямая. Плоскость у нас одна и всё происходит в ней. "Она" относится к некоторой "нашей" прямой.

[Unconnected]

Цитата:

сколько добавит к количеству частей плоскости?

Ну.. значит, удвоит.

[ИСН]

Нарисуйте, пожалуйста, картинку, на которой плоскость уже порезана на 7, например, частей. И на которой новая прямая, не пересекающая ни одну из имеющихся прямых (для этого, возможно, придётся нарисовать её слегка кривой - это не страшно) означенное число удваивает.

[Unconnected]

А, вот Вы что имели в виду! Так как так можно провести-то.. если только параллельную остальным, тогда она просто прибавит одну полуплоскость.

[ИСН]

То есть сколько частей добавит?

[Unconnected]

Одну.