2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 06:51 


15/11/11
20
Помогите пожалуйста разобраться с заданием.

Какова мера множества тех точек из интервала (0,1), у которых при разложении в десятичную дробь не встречаются цифры 5 и 8.

$X=[X]+\sum_{i=1}^\infty \varepsilon_x(x)10^{-n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Можно ли чисто интуитивно догадаться об ответе, представив себе вероятность того, что в произвольно выбранном действительном числе ни разу не встретится какая-то цифра или даже конечный набор конечных комбинаций цифр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 11:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это -- множество типа канторовского. Вспомните, как строится канторовское множество и как в конце концов подсчитывается его мера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 12:24 


15/11/11
20
ewert в сообщении #506085 писал(а):
Это -- множество типа канторовского. Вспомните, как строится канторовское множество и как в конце концов подсчитывается его мера.


Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 12:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):
Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

Не ошибаетесь, но от Вас в этой задачке требуется не просто знать это, а объяснить, почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):
Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!
Это смотря как его строить. Может быть и не 0.
Попробуйте подсчитать суммарную длину тех интервалов, которые заняты числами, содержащими цифры 5 и 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 14:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Someone в сообщении #506130 писал(а):
Это смотря как его строить. Может быть и не 0.

Можно; но для этого надо предпринять некие спецусилия. Если же коэффициент дробления постоянен, то получится ноль независимо от значения этого коэффициента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 14:23 


15/11/11
20
Someone в сообщении #506130 писал(а):
Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):
Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!
Это смотря как его строить. Может быть и не 0.
Попробуйте подсчитать суммарную длину тех интервалов, которые заняты числами, содержащими цифры 5 и 8.


Как же их посчитать, если десятичную дробь можно представить в виде:
0,000000000...000005

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение21.11.2011, 14:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А Вы по очереди считайте. Сначала первая цифра не должна быть ни восьмёркой, ни пятёркой. Какой суммарной длины интервалы выкидываются? (Вообще-то промежутки, но достаточно говорить об интервалах -- множество их концов всё равно счётно и, соответственно, на ответ не повлияет.)

Потом на оставшемся участке надо запретить вторую цифру 5 или 8. Сколько всего выкидывается?

Потом третью, четвёртую и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение22.11.2011, 09:07 


15/11/11
20
ewert в сообщении #506146 писал(а):
А Вы по очереди считайте. Сначала первая цифра не должна быть ни восьмёркой, ни пятёркой. Какой суммарной длины интервалы выкидываются? (Вообще-то промежутки, но достаточно говорить об интервалах -- множество их концов всё равно счётно и, соответственно, на ответ не повлияет.)

Потом на оставшемся участке надо запретить вторую цифру 5 или 8. Сколько всего выкидывается?

Потом третью, четвёртую и т.д.


Про выкидываются, что-то никак.
Вот такие интервалы остаются.

$(0;0,4)             (0,6;0,7)         (0,9;1)$
$(0,4;0,44)        (0,7;0,77)      $
$(0,44;0,444)    (0,77;0,777)$
...........................................................

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение22.11.2011, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение23.11.2011, 03:05 


15/11/11
20
Someone в сообщении #506531 писал(а):
Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.



Ага, ясно. Получается мера любых точек без 5 равна: $\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}$
И для 8 тому же самому! Т. е. мера выкинутых равна: $2\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}=2$

А чему тогда равна мера не выкинутых, подскажите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение23.11.2011, 03:05 


15/11/11
20
Someone в сообщении #506531 писал(а):
Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.



Ага, ясно. Получается мера любых точек без 5 равна: $\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}$

И для 8 тому же самому! Т. е. мера выкинутых равна: $2\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}=2$

А чему тогда равна мера не выкинутых, подскажите пожалуйста. Не уж то нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение23.11.2011, 07:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Qwerty12 в сообщении #506848 писал(а):
И для 8 тому же самому!

Не то же самое. Вас не удивляет, что выкинуто оказалось вдвое больше, чем было в наличии вообще?

Пятёрки и восьмёрки выкидываются не независимо друг от друга. Надо считать сразу всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мера множества.
Сообщение23.11.2011, 07:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А зачем? Если с пятёрками уже получилось 1, то что нового внесёт учёт восьмёрок?

Для ТС: в классе 20 человек. Из них не русских 20, не немцев 20, не французов 20, не белорусов 20, не евреев 20. Всего, значит, 100? Насионализьм прошу не шить!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group