Мера множества.

[Qwerty12]

Помогите пожалуйста разобраться с заданием.

Какова мера множества тех точек из интервала (0,1), у которых при разложении в десятичную дробь не встречаются цифры 5 и 8.

$X=[X]+\sum_{i=1}^\infty \varepsilon_x(x)10^{-n}$

[gris]

Можно ли чисто интуитивно догадаться об ответе, представив себе вероятность того, что в произвольно выбранном действительном числе ни разу не встретится какая-то цифра или даже конечный набор конечных комбинаций цифр.

[ewert]

Это -- множество типа канторовского. Вспомните, как строится канторовское множество и как в конце концов подсчитывается его мера.

[Qwerty12]

ewert в сообщении #506085 писал(а):

Это -- множество типа канторовского. Вспомните, как строится канторовское множество и как в конце концов подсчитывается его мера.

Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

[ewert]

Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):

Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

Не ошибаетесь, но от Вас в этой задачке требуется не просто знать это, а объяснить, почему.

[Someone]

Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):

Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

Это смотря как его строить. Может быть и не 0.
Попробуйте подсчитать суммарную длину тех интервалов, которые заняты числами, содержащими цифры 5 и 8.

[ewert]

Someone в сообщении #506130 писал(а):

Это смотря как его строить. Может быть и не 0.

Можно; но для этого надо предпринять некие спецусилия. Если же коэффициент дробления постоянен, то получится ноль независимо от значения этого коэффициента.

[Qwerty12]

Someone в сообщении #506130 писал(а):

Qwerty12 в сообщении #506102 писал(а):

Если не ошибаюсь, то мера Канторовского множества равна нулю!

Это смотря как его строить. Может быть и не 0.
Попробуйте подсчитать суммарную длину тех интервалов, которые заняты числами, содержащими цифры 5 и 8.

Как же их посчитать, если десятичную дробь можно представить в виде:
0,000000000...000005

[ewert]

А Вы по очереди считайте. Сначала первая цифра не должна быть ни восьмёркой, ни пятёркой. Какой суммарной длины интервалы выкидываются? (Вообще-то промежутки, но достаточно говорить об интервалах -- множество их концов всё равно счётно и, соответственно, на ответ не повлияет.)

Потом на оставшемся участке надо запретить вторую цифру 5 или 8. Сколько всего выкидывается?

Потом третью, четвёртую и т.д.

[Qwerty12]

ewert в сообщении #506146 писал(а):

А Вы по очереди считайте. Сначала первая цифра не должна быть ни восьмёркой, ни пятёркой. Какой суммарной длины интервалы выкидываются? (Вообще-то промежутки, но достаточно говорить об интервалах -- множество их концов всё равно счётно и, соответственно, на ответ не повлияет.)

Потом на оставшемся участке надо запретить вторую цифру 5 или 8. Сколько всего выкидывается?

Потом третью, четвёртую и т.д.

Про выкидываются, что-то никак.
Вот такие интервалы остаются.

$(0;0,4) (0,6;0,7) (0,9;1)$
$(0,4;0,44) (0,7;0,77) $
$(0,44;0,444) (0,77;0,777)$
...........................................................

[Someone]

Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.

[Qwerty12]

Someone в сообщении #506531 писал(а):

Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.

Ага, ясно. Получается мера любых точек без 5 равна: $\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}$
И для 8 тому же самому! Т. е. мера выкинутых равна: $2\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}=2$

А чему тогда равна мера не выкинутых, подскажите пожалуйста.

[Qwerty12]

Someone в сообщении #506531 писал(а):

Зачем Вам такие подробности, если нужна всего лишь мера?
По первой десятичной цифре в записи числа отрезок разбивается на 10 частей, из нах две выкидываются. Мера выкинутых - такая-то, мера оставшихся - такая-то.
Каждая из оставшихся частей по второй десятичной цифре разбивается на 10 частей...
И считайте.

Ага, ясно. Получается мера любых точек без 5 равна: $\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}$

И для 8 тому же самому! Т. е. мера выкинутых равна: $2\sum_{i=0}^\infty 9^n \frac{1}{10^{n+1}}=2$

А чему тогда равна мера не выкинутых, подскажите пожалуйста. Не уж то нулю?

[ewert]

Qwerty12 в сообщении #506848 писал(а):

И для 8 тому же самому!

Не то же самое. Вас не удивляет, что выкинуто оказалось вдвое больше, чем было в наличии вообще?

Пятёрки и восьмёрки выкидываются не независимо друг от друга. Надо считать сразу всё.

[gris]

А зачем? Если с пятёрками уже получилось 1, то что нового внесёт учёт восьмёрок?

Для ТС: в классе 20 человек. Из них не русских 20, не немцев 20, не французов 20, не белорусов 20, не евреев 20. Всего, значит, 100? Насионализьм прошу не шить!