Алгебраические кривые/поверхности, классифицировать

[икс и грек]

Если нам дано уравнение $F(x,y)=0$ или $F(x,y,z)=0$ степени $n>=3$, то можем ли мы как в случае кривых и поверхностей второй степени привести заменой координат эту кривую/поверхность строго к одному виду, то есть осуществить их клаcсификацию?

[Someone]

А.С.Смогоржевский и Е.С.Столова.Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. "Физматгиз", Москва, 1961.

Это было сделано ещё И.Ньютоном в 1704 году. При помощи элементарных преобразований общее уравнение кривой третьего порядка $Ax^3+3Bx^2y+3Cxy^2+Dy^3+3Ex^2+6Fxy+3Gy^2+Hx+Iy+K=0$ приводится к одной из четырёх канонических форм:
A. $xy^2+ey=ax^3+bx^2+cx+d$,
B. $xy=ax^3+bx^2+cx+d$,
C. $y^2=ax^3+bx^2+cx+d$,
D. $y=ax^3+bx^2+cx+d$.
Далее, в зависимости от корней характеристического уравнения $ax^4+bx^3+cx^2+dx+\frac 14e^2=0$ или $ax^3+bx^2+cx+d=0$, И.Ньютон делит все кривые на 7 классов, 14 родов, 72 типа.

Ещё есть классификации Плюккера и Адамова.

Про поверхности третьего порядка или кривые четвёртого порядка не знаю.

[Lion]

Насколько я знаю, вопрос с классификацией кривых, задаваемых уравнением $F(x,y)=0$ степени $n$, решен только при $n\leq6$. Этот вопрос приводит к 16 проблеме Гильберта (пока нерешенной), в которой спрашивается, как задаваемые на комплексной плоскости уравнением $F(x,y)=0$ овалы расположены друг относительно друга. Этот вопрос разбирается. например, в "Избранных трудах" Гильберта, том 2.

[Сергей Маркелов]

икс и грек писал(а):

Если нам дано уравнение $F(x,y)=0$ или $F(x,y,z)=0$ степени $n>=3$, то можем ли мы как в случае кривых и поверхностей второй степени привести заменой координат эту кривую/поверхность строго к одному виду, то есть осуществить их клаcсификацию?

Рисунки 45 возможных видов кубик доступны тут: http://staff.jccc.net/swilson/planecurves/cubics.htm

См. также статью Кубика в Википедии.

Сергей Маркелов