А.С.Смогоржевский и Е.С.Столова.Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. "Физматгиз", Москва, 1961.
Это было сделано ещё И.Ньютоном в 1704 году. При помощи элементарных преобразований общее уравнение кривой третьего порядка

приводится к одной из четырёх канонических форм:
A.

,
B.

,
C.

,
D.

.
Далее, в зависимости от корней характеристического уравнения

или

, И.Ньютон делит все кривые на 7 классов, 14 родов, 72 типа.
Ещё есть классификации Плюккера и Адамова.
Про поверхности третьего порядка или кривые четвёртого порядка не знаю.