Расслоение CP^n над сферой

[Bulinator]

Играл с формулками и получил следующий результат:
$\mathbb{C}P^{2n+1}/S^2=S^{4n}$, $n=1,2,...$.
Это бред сивой кобылы или действительно такие расслоения существуют и известны?

[shwedka]

Знаете, чего-то не верится. Какая у Вас естественная проекция проективного пространства на сферу, порождающая изоморфизм?

[Bulinator]

$z_{2\mu-1}=w_{2\mu-1}u-{\bar w}_{2\mu}$
$z_{2\mu}={\bar w}_{2\mu-1}+u w_{2\mu}$
$z_{2n+1}=u$

$\mu=1,...,n$

$z\in \mathbb{C}$- координаты на $\mathbb{C}P^n$
$u\in \mathbb{C}$- проективная координата на $S^2$
$w\in \mathbb{C}$- проективные координаты на $S^{4n}$

[shwedka]

Bulinator в сообщении #506306 писал(а):

$u\in \mathbb{C}$- проективная координата на $S^2$

К сожалению, этого не понимаю. Если $S^2$ это двумерная сфера, то что такое проективная координата там?

[Bulinator]

Сорри. Это жаргон. Сфера в $\mathbb{R}^3$ задается фонмулой
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$. Проективными координатами я называю координаты
$y_{1,2}=\frac{2x_{1,2}}{1+x_3}$

-- Пн ноя 21, 2011 19:23:05 --

Понятно, что для четномерных сфер эти $y$ можно попарно соединить в комплексные числа.

[shwedka]

Понимаю, иначе говоря, Вы рассматриваете компактификацию. Так, конечно, похоже на правду, но что происходит на бесконечности в этих координатах, на глазок не сказать. Я бы предложила проверить по гомологической последовательности расслоения. Гомологии всех этих пространств ведь известны...

[Bulinator]

shwedka в сообщении #506379 писал(а):

Я бы предложила проверить по гомологической последовательности расслоения. Гомологии всех этих пространств ведь известны...

shwedka
Вы давите интеллектом Я знаю что такое расслоение.. Функции перехода очевидны. И даже если рассмотреть метрику Фубини-Штуди на $\mathbb{C}P^{2n+1}$, она плавно переходит в сумму метрик на сферах(с какой-то связностью).

[shwedka]

Bulinator в сообщении #506402 писал(а):

shwedka в сообщении #506379 писал(а):

Я бы предложила проверить по гомологической последовательности расслоения. Гомологии всех этих пространств ведь известны...

shwedka
Вы давите интеллектом Я знаю что такое расслоение.. Функции перехода очевидны. И даже если рассмотреть метрику Фубини-Штуди на $\mathbb{C}P^{2n+1}$, она плавно переходит в сумму метрик на сферах(с какой-то связностью).

Да нет, какой интеллект....
Вот есть такая замечательная вещь, гомологическая (и когомологическая) точная последовальность расслоения, которая связывает группы гомологий пространства, базы и слоя. Прочитать можно практически в любой книге по алгебраической топологии, например, у Хилтона-Уайли, Спеньера, Рохлина-Фукса, Фоменко --- да много где. Даже у Волфрама можете найти.
Если окажется, что группы в Вашем представлении в эту последовательность не ложатся, значит, такого расслоения нет.

А возиться с метриками я бы сама не стала. Вопрос все же топологический, а не метрический.

[Bulinator]

shwedka в сообщении #506409 писал(а):

Вот есть такая замечательная вещь, гомологическая (и когомологическая) точная последовальность расслоения, которая связывает группы гомологий пространства, базы и слоя.

Спасибо большое. Обязательно прочту. Но не сейчас. Такого локального соответствия мне пока достаточно. Если все получится, то, в целях повышения образованности, обязательно прочту.
Было бы хорошо, если бы кто-нибудь так сразу сказал- есть такое расслоение или его нет. А то вдруг я "умные слова" напишу а они окажутся неверными.

[shwedka]

Знаете, мне кажется, такая вещь или неверна, или известна. Надо порыться по литературе. При этом, по не слишком новой, поэтому поиск непрост.
Или спросить у специалиста. Из активных - рекомендую Виро, бывшего нашего шведа, а ныне в Стони Бруке. Локально же, конечно, гомеоморфность следует из простого подсчета размерностей.

Все, конечно, зависит, для чего это Вам нужно.

[Bulinator]

shwedka в сообщении #506432 писал(а):

Или спросить у специалиста. Из активных - рекомендую Виро, бывшего нашего шведа, а ныне в Стони Бруке.

(Вспомнился анектод)

Грузин продает дом на берегу моря.
Покупатель: А дом близок к морю?
Грузин: Конечно, Уиходиш из дома и сразу море.
Покупатель: А вдруг наводнение?
Грузин: Бичо, гдэ море-е, где твой дом...
:))))

Где Виро, где я

[shwedka]

Bulinator в сообщении #506437 писал(а):

Где Виро, где я

а что? он вполне нормальный и коммуникабельный. Адрес
oleg.viro гавгав gmail.com
можно по-русски

[type2b]

Я не Виро, но кое-что отвечу :)
Про общий случай ничего не могу сказать, а для $n=1$ это твисторное расслоение. Получается так: берем $\mathbb{H}^2$, факторизуем по $\mathbb{C}^*$, получаем $\mathbb{C}P^3$. Если же факторизуем по $\mathbb{H}^1$, то получаем $\mathbb{H}P^1\approx S^4$. Сравнивая, находим, что это расслоение со слоем $\mathbb{C}P^1$. Короче, это проективизация тавтологического расслоения $\mathbb{H}^2\rightarrow \mathbb{H}P^1$. См., например, в книжке Атьи про узлы.
Можно сделать то же самое для большего числа измерений, там будет $\mathbb{C}P^{2n+1}\rightarrow \mathbb{H}P^n$ со слоем $\mathbb{C}P^1$, но это не то, что Вам нужно.

[Bulinator]

type2b в сообщении #506440 писал(а):

это твисторное расслоение.

Выяснилось позже я с испугу
Разыграл классический дебют(с) :))

type2b в сообщении #506440 писал(а):

Сравнивая, находим, что это расслоение

Ну это типа того как я делал. Взял второе расслоение Хопфа:
$S^7/S^3\simeq S^4$
Можно такое $U(1)$ построить, которое на это $S^4$ савсэм не действует. Тогда получится
$S^3/U(1)\simeq S^2$, $S^7/U(1)\simeq \mathbb{C}P^3$ ну и
$\mathbb{C}P^3/S^2\simeq S^4$.

[type2b]

Да, так и есть. Это $S^1$ из $\mathbb{C}^*$, которое в проективизации. A $\mathbb{R}$ оттуда же сделало сферы из $\mathbb{C}^{\dots}$.