Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[Time]

Участники недавно закрытой модератором дискуссии по многомерным расширениям ТФКП, на сколько я понял, не возражают в полезности для инженерных приложений методов теории комплексного потенциала (ТКП). Векторные поля, связываемые по известным правилам с различными голоморфными функциями комплексной переменной имеют свои физические аналоги в самых различных задачах, сводящихся к двум пространственным координатам. Тут и задачи двумерной электро- и магнитостатики, двумерных течений идеальной жидкости, двумерной теплопроводности, двумерной гравитации и т.п. То есть везде, где двумерное векторное поле в некоторой области обладает свойством потенциальности и соленоидальности, методы ТКП работают весьма просто и эффективно.
Однако практически к тому же самому, но в отношении идеальных векторных полей в двумерном пространстве-времени, приводит аналогичный алгоритм, отправной точкой которого являются $h$-голоморфные функции двойной переменной. Действуя буква в букву с алгоритмом работающим на комплексной плоскости, отталкиваясь от почти произвольной $h$-голоморфной функции двойной переменной, мы получаем векторные пространственно-временнЫе поля, которые в областях без особенностей можно называть гиперболически потенциальными и гиперболически соленоидальными. С эллиптическими практически зеркальными копиями у этих гиперболических векторных полей общее почти все. Они так же сосуществуют парами. Для каждого такого поля есть дуальное, линии тока которого в каждой точке, кроме особых, ортогональны линиям тока дуального поля. Для обоих полей, кроме как в особых точках, справедливо двумерное уравнение Даламбера, являющееся гиперболическим аналогом двумерного уравнения Лапласа, а так же имеется возможность введения операторов гиперболической дивергенции и гиперболического ротора.
И все же, по крайней мере одно принципиальное отличие, есть. Если для векторных полей связанных с комплексным потенциалом легко и во множестве можно указать их физические аналоги, то для обобщения комплексного потенциала на плоскость двойной переменной в случае нелинейных $h$-голоморфных функций, физически интерпретируемых векторных полей реализуемых в двумерном пространстве-времени, просто не существует (точнее будет сказать, не известны современной физике). Ссылки на двумерную квантовую теорию поля тут не проходят, так как речь о классических векторных полях, только не в евклидовом пространстве, а в псевдоевклидовом пространстве-времени.
Ну, а так же имеется то интересное обстоятельство, что метод комплексного потенциала с двумерного евклидова пространства именно в связи со своей комплексностью (то есть существования двух комплексно сопряженных скалярных функций) не расширяется ни на трехмерное евклидово пространство, ни на четырехмерное псевдоевклидово пространство-время (где, по идее, должны были бы вместо двух сопряженных скалярных функций существовать, соответственно, три и четыре сопряженных скалярных функции). Если же признать рациональность и полезность (пусть только для инженеров) расширения методов ТКП с комплексной плоскости на плоскость двойной переменной (даже без попыток найти для соответствующих нелинейных векторных полей физическую интерпретацию в рамках классических полевых представлений), то тут ограничений для многомерных расширений не имеется. То есть, можно вполне говорить о возможности создания теории гиперкомплексного потенциала в многомерном плоском финслеровом пространстве-времени.
Но бог с ним с финслеровым пространством-временем, в двумерном случае геометрия вполне себе псевдоевклидова. Неужели даже в этом случае народ не в состоянии увидеть аналогии с обычным комплексным потенциалом и не готов задаться вопросом, почему физических полей с "нужными" свойствами физиками не рассматриваются?

[g______d]

Time, а у меня такой вопрос: в прошлой дискуссии упоминалась книжка F. Catoni и др. "The Mathematics of Minkovski Space-Time". Ее легко найти в открытом доступе на bookfi.org. Я не увидел в Ваших работах ссылки на нее или на работы этой группы (может, плохо искал).

Я ее проглядел по диагонали, и похоже, что она ровно про то, что мы обсуждали. А именно, там достаточно много про $h$-аналитические функции и про "гиперболические аналоги голоморфных функций". Она написана математически корректнее, чем Ваши работы (без обид --- Вы сами признавали, что это не было целью), и цели у них с виду похожие.

Видели ли Вы ее? Что Вы про нее думаете?

[Time]

g______d в сообщении #505501 писал(а):

Time, а у меня такой вопрос: в прошлой дискуссии упоминалась книжка F. Catoni и др. "The Mathematics of Minkovski Space-Time". Ее легко найти в открытом доступе на bookfi.org. Я не увидел в Ваших работах ссылки на нее или на работы этой группы (может, плохо искал).

У них так же нет ни одной ссылки на наши работы. :)
Но что существенно печальнее, нет ссылок на работы S.Olariu, который почти все, что у них написано выложил в ArXiv'е еще лет десять назад.

Цитата:

Я ее проглядел по диагонали, и похоже, что она ровно про то, что мы обсуждали. А именно, там достаточно много про $h$-аналитические функции и про "гиперболические аналоги голоморфных функций". Она написана математически корректнее, чем Ваши работы (без обид --- Вы сами признавали, что это не было целью), и цели у них с виду похожие.

Это на первый взгляд.
Да, они как и Olariu достаточно подробно разбирают двух- и многомерные коммутативные гиперкомплексные числа, $h$-аналитические и $h$-голоморфные функции от них. Но в обоих работах нет, на мой взгляд, главного:
1. Функции двойной переменной и связанные с ними векторные поля они не доводят до конечного логического вывода (впрочем, как и Лаврентьев с Шабатом) - построения конформного обобщения двумерной специальной теории относительности, хотя, как я видел и рассматривают "парадокс близнецов". Может я так же плохо смотрел, но не увидел у них заострения на моменте, что аналог четырехскорости для соответствующих векторных полей по модулю в получаемой конструкции далеко не всегда равен единице. Это ОЧЕНЬ СЕРЬЕЗНОЕ отличие от обычной СТО и оно ведет к глубоким и принципиальным следствиям. В том числе и в отношении "парадокса" близнецов.
2. Как следствие п.1. они не рассматривают самих векторных полей связанных с $h$-голоморфными функциями. То есть, именно то, что я безрезультатно просил сделать Вас. Но у них хоть элементарные функции рассмотрены и связанные с ними конформные отображения псевдоевклидовой плоскости на себя. Уже это можно считать достижением. У других авторов этих конформных отображений мне видеть не приходилось, все как сговорились вслед за Лаврентьевым с Шабатом расcматривать только примитивную "волновую" интерпретацию.
3. Авторы упоминают несколько раз, что геометрия, стоящая за многомерными коммутативными числами, не риманова и не псевдориманова, даже ссылку на Б.Римана приводят в связи с его знаменитой работой "О гипотезах...", в которой он говорит о возможности геометрий с неквадратичным видом формы связанной с линейным элементом. И даже в формуле В.1.1. у них фигурирует не обычный финслеров метрический тензор, а именно тот, что используем мы, для пространств, стоящих за четырехмерными коммутативными алгебрами - четырехиндексный и не зависящий от направления в касательном пространстве. Это СИЛЬНОЕ отличие от обычного подхода к финслеровым пространствам (например, от известного Вам подхода Рунда), но саму такую логику они не развивают. У них нет обобщения скалярного произведения с билинейной симметрической формы на полилинейную (хотя есть ссылки на работу Шаферса, который весьма близко подошел к данному основному геометрическому объекту весьма и интересного и большого класса финслеровых/псевдофинслеровых пространств). Да и вообще нет ни слова о финслеровой геометрии.

В общем, не смотря на то, что с формально математической точки зрения их работа, вероятно, действительно строже написана и более близким для современных математиков языком, в плане полноты исследования самого предмета коммутативных алгебр, стоящих за ними геометрий и возможных их физических интерпретаций, на мой взгляд, существенно беднее того, что сделано в работах Гарасько и Кокарева (так же без обид, Вы сами признавали, что с физической интуицией у Вас не очень).

Цитата:

Видели ли Вы ее? Что Вы про нее думаете?

Сейчас первый раз увидел. Раньше мне попадались предыдущие работы данных авторов, но менее объемные.
Скажу, что рад появлению таких исследований. Пусть они и далеки от полноценной связи с геометрией и физикой, может, хоть немного приблизят понимание математиками и физиками, что коммутативные многомерные невырожденные алгебры (по теореме Веерштрасса они все сводятся к прямым суммам действительных и комплексных алгебр) по своим свойствам на много богаче, чем просто набор из $n$ вещественных и $m$ комплексных "прямых". В геометрическом плане за ними стоят совсем не тривиальные плоские финслеровы пространства с большим числом базовых инвариантов и связанных с ними нелинейных непрерывных симметрий. Ну а физика, которая за всем этим маячит, на много более интересная, чем стоящая за СТО и даже за ОТО.
Вам то самому понравилось читать? Пусть и по диагонали.. Или все претензии в адрес наших с Кокаревым статей Вы готовы адресовать и этому коллективу авторов? Ведь объект то исследований, действительно, практически тот же самый что и у нас..

[bayak]

Time в сообщении #505354 писал(а):

Но бог с ним с финслеровым пространством-временем, в двумерном случае геометрия вполне себе псевдоевклидова. Неужели даже в этом случае народ не в состоянии увидеть аналогии с обычным комплексным потенциалом и не готов задаться вопросом, почему физических полей с "нужными" свойствами физиками не рассматриваются?

Наверное потому, что не находятся "нужные" свойства. Кроме того, не требуйте от математических моделей слишком многого. Зачем Вам пара векторных полей? Ограничтесь физической интерпретацией скалярного поля, удовлетворяющего этой паре. Вполне возможно, что тут же найдутся аналогии с полем тяжести. А если говорить о расширении теории классического гравитационного поля на пространство Минковского, то уверен, что физики в этой связи давно уже прощупали решения трёхмерного волнового уравнения. Поэтому не мешало бы посмотреть в литературе на освещение этого не простого вопроса.

[Time]

bayak в сообщении #505786 писал(а):

Наверное потому, что не находятся "нужные" свойства.

Вы можете назвать экспериментальные работы, в которых искались бы пространственно-временнЫе векторные поля, соответствующие $h$-голоморфным функциям? Во время подготовки к собственному эксперименту, мы таковых не смогли найти.

bayak в сообщении #505786 писал(а):

Зачем Вам пара векторных полей?

Пара это только в ситуациях, сводящихся к одному пространственному и одному временнОму измерению. В обычном четырехмерном случае таких полей, минимум, четыре. Зачем столько? Так получается автоматически, если имеет место структура связанная с гиперкомплексной четырехпараметрической коммутативной алгеброй. Потому речь идет о гиперкомплексном потенциале, а не об обычном потенциале. Точно так же в теории обычного комплексного потенциала всегда имеется именно два векторных поля, векторные линии которых взаимноортогональны в каждой точке, кроме особых. Так уж они устроены..

bayak в сообщении #505786 писал(а):

А если говорить о расширении теории классического гравитационного поля на пространство Минковского, то уверен, что физики в этой связи давно уже прощупали решения трёхмерного волнового уравнения.

Обычное волновое уравнение в четырехмерном пространстве-времени Минковского, согласен, прощупали вдоль и поперек. Но у нас то его финслеров аналог. Это дифференциальное уравнение имеет уже не второй, а четвертый порядок. Попробуйте найти хоть одну работу, в которой пусть не с физической, а хотя бы с абстрактно-геометрической точки зрения анализируются решения именно ТАКОГО "волнового" уравнения, да еще не в псевдоримановом, а в специального вида псевдофинслеровом пространстве-времени..

[bayak]

Time в сообщении #505869 писал(а):

Вы можете назвать экспериментальные работы, в которых искались бы пространственно-временнЫе векторные поля, соответствующие -голоморфным функциям? Во время подготовки к собственному эксперименту, мы таковых не смогли найти.

Возможно экспериментаторы предвидели технические трудности, или понимали, что измерить удасться только пространственную составляющую вектора

Time в сообщении #505869 писал(а):

Пара это только в ситуациях, сводящихся к одному пространственному и одному временнОму измерению.

Я предлагал выкинуть из этой пары одно векторное поле. По сути существование пары ортогональных полей псевдоевклидовой плоскости равносильно тому, что каждое из них потенциально, причём потенциал удовлетворяет волновому уравнению. Поэтому для физических интерпретаций можно оставить только скалярный потенциал.

Time в сообщении #505869 писал(а):

Попробуйте найти хоть одну работу, в которой пусть не с физической, а хотя бы с абстрактно-геометрической точки зрения анализируются решения именно ТАКОГО "волнового" уравнения, да еще не в псевдоримановом, а в специального вида псевдофинслеровом пространстве-времени..

Это было бы интересно, но опять же, не гонитесь за четвёркой полей.

[Time]

bayak в сообщении #505890 писал(а):

Возможно экспериментаторы предвидели технические трудности, или понимали, что измерить удасться только пространственную составляющую вектора

Не думаю, что дело в неких технических трудностях.
Но даже если б проблема была именно в этом, приведите хотя бы ссылки на теоретические предсказания таких полей.

bayak в сообщении #505890 писал(а):

Я предлагал выкинуть из этой пары одно векторное поле. По сути существование пары ортогональных полей псевдоевклидовой плоскости равносильно тому, что каждое из них потенциально, причём потенциал удовлетворяет волновому уравнению. Поэтому для физических интерпретаций можно оставить только скалярный потенциал.

Применительно к теории обычного комплексного потенциала Ваше предложение ограничиться одним векторным полем равносильно ограничению для плоскости рассматривать только скалярную функцию отвечающую за потенциал. А куда прикажите девать функцию тока? И зачем себя так сильно ограничивать? К тому же оба векторных поля на плоскости не только потенциальны, но и соленоидальны. И одно другому совсем не мешает. Зачем что-то выбрасывать, если оно есть?

bayak в сообщении #505890 писал(а):

Это было бы интересно, но опять же, не гонитесь за четвёркой полей.

Ни кто и не гонится. Просто если есть хотя бы одно четырехмерное пространственно-временнОе векторное поле свойства которого совпадают с условиями $h$-голоморфности функций четверной переменной, просто на автомате должно получаться, что есть еще три дополнительных поля, являющихся финслерово ортогональными к одному найденному полю. Тут гонись не гонись, а только так и может быть. Либо все четыре, либо ни одного..

[bayak]

Time в сообщении #505912 писал(а):

Не думаю, что дело в неких технических трудностях.Но даже если б проблема была именно в этом, приведите хотя бы ссылки на теоретические предсказания таких полей.

Не требуйте от меня невыполнимого. Я просто высказал свою версию отсутствия подобных экспериментов.

Time в сообщении #505912 писал(а):

Применительно к теории обычного комплексного потенциала Ваше предложение ограничиться одним векторным полем равносильно ограничению для плоскости рассматривать только скалярную функцию отвечающую за потенциал. А куда прикажите девать функцию тока? И зачем себя так сильно ограничивать? К тому же оба векторных поля на плоскости не только потенциальны, но и соленоидальны. И одно другому совсем не мешает. Зачем что-то выбрасывать, если оно есть?

Ещё раз повторю. Я не выступаю против поиска интерпретации пары полей, а предлагаю альтернативу - найти интерпретацию потенциала (не пары потенциалов а одного потенциала).

Time в сообщении #505912 писал(а):

Либо все четыре, либо ни одного..

Однако в дифференциальном уравнении 4-го порядка может быть только одна функция. Не обязательно рассматривать систему уравнений.

[Time]

bayak в сообщении #505923 писал(а):

Не требуйте от меня невыполнимого. Я просто высказал свою версию отсутствия подобных экспериментов.

Ладно. Давайте сойдемся на том, что соответствующие эксперименты Вам не известны, и теоретические предсказания существования в реальности конкретных пространстванно-временнЫх полей - тоже. Если никто из читателей этой темы так же не приведет ссылок по обсуждаемому вопросу, как минимум, можно считать, что эксперимент имеет смысл, его результаты интересны, а предсказывающая искомые поля гипотеза, в случае положительного результата, имеет все шансы превратиться в подтверждающуюся теорию. Так пойдет?

bayak в сообщении #505923 писал(а):

Ещё раз повторю. Я не выступаю против поиска интерпретации пары полей, а предлагаю альтернативу - найти интерпретацию потенциала (не пары потенциалов а одного потенциала).

Разрешите и мне повторить. Если в реальном пространстве-времени есть место хотя бы для одного нетривиального векторного поля, связанного с градиентом от потенциала $h$-голоморфной функции четверной переменной, то для него в обязательном порядке будут существовать еще, минимум, три в финслеровом смысле взаимноортогональных векторных поля. И обнаружение одного, автоматически означает существование остальных.

bayak в сообщении #505923 писал(а):

Однако в дифференциальном уравнении 4-го порядка может быть только одна функция. Не обязательно рассматривать систему уравнений.

Это обычная логика, проистекающая из убеждения, что реальное четырехмерное пространство-время псевдоевклидово или псевдориманово. В таком многообразии, и "волновому" уравнению 4-го порядка делать нечего, и четырем взаимноортогональным (в финслеровом смысле ортогональности) гиперповерхностям, и четырем взаимноортогональным векторным полям. Рассматривать то Вы можете одно поле и один потенциал, но сама логика, откуда берет свой исток такая конструкция, иначе как к четверке гиперкомплексносопряженных функций не приводит (на самом деле их не четыре, а существенно больше), но, боюсь, от этого факта наш диалог вообще перейдет в состояние клинча..

[bayak]

Time в сообщении #505950 писал(а):

Так пойдет?

Ещё Минковский заявлял, что пространство и время после работ Эйнштейна якобы стали геометрической сущностью, но поскольку координата времени должна выходить в четвёртое (ненаблюдаемое) измерение, то заявление входит в противоречие с человеческим опытом. На таком фоне (в не вполне геометрическом пространстве Минковского) трудно представить себе некие физические поля. Однако, если пространство наблюдателя это 3-мерная поверхность, которая движется в пространстве Минковского вдоль координаты времени, то векторное поле скоростей частичек 3-поверхности вполне можно представить себе некой метафизической сущностью -- потоком "времени".

Time в сообщении #505950 писал(а):

Разрешите и мне повторить. Если в реальном пространстве-времени есть место хотя бы для одного нетривиального векторного поля, связанного с градиентом от потенциала -голоморфной функции четверной переменной, то для него в обязательном порядке будут существовать еще, минимум, три в финслеровом смысле взаимноортогональных векторных поля. И обнаружение одного, автоматически означает существование остальных.

С точки зрения математики так оно и должно было бы быть, но с точки зрения философии так не должно быть. Пусть будет так: метафизическое поле одно, а физических полей четыре, причем каждое из них является производным от метафизического (например, как градиент от гиперболического угла наклона метафизического векторного поля к каждой из четырёх осей БМ-пространства).

[Time]

bayak в сообщении #506320 писал(а):

Ещё Минковский заявлял, что пространство и время после работ Эйнштейна якобы стали геометрической сущностью, но поскольку координата времени должна выходить в четвёртое (ненаблюдаемое) измерение, то заявление входит в противоречие с человеческим опытом. На таком фоне (в не вполне геометрическом пространстве Минковского) трудно представить себе некие физические поля. Однако, если пространство наблюдателя это 3-мерная поверхность, которая движется в пространстве Минковского вдоль координаты времени, то векторное поле скоростей частичек 3-поверхности вполне можно представить себе некой метафизической сущностью -- потоком "времени".

Что ж, если заменить пространство Минковского чентырехмерным пространством Бервальда-Моора, то фразу выше вполне можно применить и к нему, с той разницей, что Минковскому не соответствует никакой четырехкомпонентной алгебры и следовательно для него не существует гиперкомплексного потенциала, а для Бервальда-Моора есть и то и другое. Есть еще несколько важных отличий, но их пока лучше не обсуждать.

bayak в сообщении #506320 писал(а):

С точки зрения математики так оно и должно было бы быть, но с точки зрения философии так не должно быть. Пусть будет так: метафизическое поле одно, а физических полей четыре, причем каждое из них является производным от метафизического (например, как градиент от гиперболического угла наклона метафизического векторного поля к каждой из четырёх осей БМ-пространства).

С таким же успехом можно говорить, что для двух евклидовых координат электростатическое двумерное поле метафизическое и оно одно, а вот физических - их два, причем одно связано с углом к одной координате, а второе - к другой. Как Вам такая аналогия к Вашему утверждению выше?

[bayak]

Time в сообщении #506382 писал(а):

Что ж, если заменить пространство Минковского чентырехмерным пространством Бервальда-Моора, то фразу выше вполне можно применить и к нему, с той разницей, что Минковскому не соответствует никакой четырехкомпонентной алгебры и следовательно для него не существует гиперкомплексного потенциала, а для Бервальда-Моора есть и то и другое. Есть еще несколько важных отличий, но их пока лучше не обсуждать.

Действительно, вариантов можно придумать много. Допускаю и такой вариант, когда всякая пространственная точка движется в БМ-пространстве. Но не исключено, что 3-поверхность наблюдателя движется в многомерном финслеровом пространстве, которое объединяет и пространство Минковского и пространство БМ.

Time в сообщении #506382 писал(а):

С таким же успехом можно говорить, что для двух евклидовых координат электростатическое двумерное поле метафизическое и оно одно, а вот физических - их два, причем одно связано с углом к одной координате, а второе - к другой. Как Вам такая аналогия к Вашему утверждению выше?

Плохая аналогия. Метафизическое векторное поле должно быть ортогонально евклидову подпространству наблюдателя, тем самым требуется выход за пределы евклидовой метрики.

[Time]

bayak в сообщении #506405 писал(а):

Плохая аналогия. Метафизическое векторное поле должно быть ортогонально евклидову подпространству наблюдателя, тем самым требуется выход за пределы евклидовой метрики.

Приходится признать, что Ваших утверждений подобных этому мне никогда не понять..

[g______d]

Обсуждение из темы topic30187-165.html логичнее всего вернуть сюда.

Итак, на псевдоевклидовой плоскости есть $h$-аналитические функции двойной переменной, в изотропном базисе (т. е. $e_x-e_t$, $e_x+e_t$) представляющие собой просто пару гладких функций одной вещественной переменной.

В работах Time утверждается, что выделен некоторых естественный подкласс, как-то связанный с классическими голоморфными функциями комплексной переменной и для которого имеется аналог формулы Коши.

Ничего этого в работах, конечно, в явном виде нет (работы находятся здесь http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf). В том смысле, что там нет ни определения соответствующего класса, ни формулировки теоремы, ни ее доказательства --- по крайней мере, в математическом виде.

Далее был мой аргумент, что правая часть формулы Коши представляет собой вещественно-аналитическую функцию, если она определена, а левая часть --- просто гладкая. В ответ на это было дано явное определение нужного подкласса --- функции нужно просто вместо гладких считать вещественно аналитическими. Я утверждаю, что по теореме Уитни это не решит проблему.

Time в сообщении #562582 писал(а):

Вы же сами хотели видеть на плоскости двойной переменной аналог аналитического продолжения гиперболических функций? Вещественная аналитичность обеих функций от одной переменной каждая это и обеспечивает. Не будет вещественной аналитичности, не будет и свойства восстановления всей функции двойной переменной по значению ее в точке.

Я не хотел. Я говорил, что это противоречит наличию параллелей между $h$-аналитическими функциями и голоморфными функциями. Но это не значит, что параллели появятся после того, как это затребуется. Условие вещественной аналитичности, в отличие от комплексной, не является измеряемым. Принцип аналитического продолжения --- это математическая теорема, в которой надо знать сразу все коэффициенты ряда Тейлора точно, и, в отличие от комплексного случая, приближенное знание функции не некотором множестве не даст нам никакой информации о ее поведении на другом множестве. Это тоже следствие теоремы Уитни.

-- 22.04.2012, 14:27 --

Time в сообщении #562582 писал(а):

Не думаю. Простая, но не содержащая всех существенных нюансов интерпретируемого объекта геометрическая конструкция не может считаться наилучшей. Попробуйте сами убедиться. Повозитесь немного с предлагаемой мною геометрически-полевой интерпретацией и после получения хотя бы небольшого опыта вернитесь к своей "проcтейшей". Полагаю, Все само собой станет ясным.
К тому же сами Лаврентьев и Шабат в той же самой книге пару слов сказали о принципиальной возможности и иной, а именно геометричеки-полевой интерпретации гиперболических функций в двумерном пространстве-времени и как раз в связи с его конформными деформациями. Но они прямо так и сказали, что не станут на страницах данной книги развивать эту возможность. Я думаю, что прекрасно понимаю, почему они так благоразумно поступили. Скоро, надеюсь, поймете и Вы.

Никто не спорит, что такая интерпретация есть. Но в этой интерпретации ничем не выделены классические и элементарные функции, и все свойства можно сформулировать для гладких функций.

-- 22.04.2012, 14:34 --

Time в сообщении #562544 писал(а):

Цитата:

Да, на него и отвечал. Единственная ситуация, которую я знаю и в которой это возникает --- это когда данная функция является решением некоторого уравнения, из свойств которого следует аналитичность. Если я ответил не на то, то переформулируйте вопрос, чтобы я его понял.

Гармонические функции, на которые Вы сослались, должны иметь две и более вещественных координат, а я хотел что бы Вы привели некие важные уравнения, выделяющие среди прочих условия вещественной аналитичности.

Если функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами, то при некоторых не очень ограничительных условиях она будет вещественно аналитичной. Уравнений, выделяющих само понятие вещественной аналитичности, нет. Более того (см. также выше), любую гладкую функцию можно аппроксимировать вещественно аналитическими с любой точностью (даже можно сделать, чтобы любое число производных при этом тоже аппроксимировалось). Поэтому при измерениях Вы никогда не отличите вещественно-аналитическую функцию от гладкой.

Если у какого-класса вещественно аналитических функций есть хорошие свойства, то это значит, что вещественная аналитичность на самом деле верна не сама по себе, а является следствием какого-то уравнения (типа гармоничности), и эти хорошие свойства на самом деле следуют из уравнения.

[g______d]

Time в сообщении #562582 писал(а):

Попробуйте все же, переступив через лень и "не хочется" и "не вижу малейшего смысла" поупражняться с геометрически-полевыми представлениями элементарных гиперболических функций. Аналогичных таким же построениям обычных аналитических функций комплексной переменной. Многое станет ясно без моих пояснений.

Все эти построения проходят и для гладких функций. Вы же ни в каком из своих построений не использовали вещественную аналитичность? Отличие элементарных функций только в симметрии относительно временной оси.