Линейная зависимость векторов

[Hoaxer]

И так, есть очень простой пример общеобразовательной програмы геометрии десятого или даже девятого классов, но все же я застрял на нем и ни как не могу здвинуться с места. Прошу хорошего пинка (:

Книга Моденова по Аналитической Геометрии, тема Векторная Алгебра.
1. Имееться три компланарных вектора. Первых два - неколлинеарны, третий находится в линейной зависимости, нужно выразить кооэффициенты третьего через первые два вектора. Расскладывал в систему уравнений по координатам, но ничего не получилось. Понимаю, что задача базовая и начального уровня, но все же никак не могу понять с какой стороны к ней подойти.
2. Очень похожа на предидущую, вот только имееться окружность c центром в точке S и два вектора: $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b $. Окружность касается прямых ОВ и ОА в точке А. Нужно найти вектор $\overrightarrow{OS}$. В этом случае пытался рассмотреть прямоугольные треугольники и свойства высот, но сного ничего.

Благодарен за внимание (:

[AKM]

Hoaxer в сообщении #506269 писал(а):

Окружность касается прямых ОВ и ОА в точке А.

А такое возможно? Окружность может касаться прямой ОВ в точке А?

[Hoaxer]

AKM
Как я понял, так окружность касается точки ОА в точке А, а ОВ в какой-то другой точке.

Цитата:

Окружность касается прямых ОВ и ОА в точке А.

так было в условии.

[svv]

По первой задаче.
Надо найти коэффициенты разложения $\mathbf{x}=p\mathbf{a}+q\mathbf{b}$
Скалярно умножьте это равенство на $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\,p+\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\,q=\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}$
$\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}\,p+\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}\,q=\mathbf{b}\cdot\mathbf{x}$
Найдите из этой системы $p$ и $q$, записав их в виде отношения определителей.
Для преобразования определителей к виду, который нравится Моденову, воспользуйтесь формулой
$\begin{vmatrix}\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{a}\cdot\mathbf{d} \\\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} & \mathbf{b}\cdot\mathbf{d} \end{vmatrix}=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d})$

[mihailm]

Hoaxer в сообщении #506269 писал(а):

...
1. Имееться три компланарных вектора. Первых два - неколлинеарны, третий находится в линейной зависимости, нужно выразить кооэффициенты третьего через первые два вектора. Расскладывал в систему уравнений по координатам, но ничего не получилось. Понимаю, что задача базовая и начального уровня, но все же никак не могу понять с какой стороны к ней подойти.
...

Геометрическое доказательство тут же, или обязательно надо алгеброй?

[ewert]

Hoaxer в сообщении #506269 писал(а):

Расскладывал в систему уравнений по координатам, но ничего не получилось.

Не могло не получиться, если условие корректно (и если в условии были заданы именно координаты). Для коэффициентов разложения получается переопределённая система из трёх уравнений с двумя неизвестными, при попытке решения которой одно из уравнений исчезнет (а если не исчезнет -- то это и будет означать некорректность условия).

[Hoaxer]

svv,
Весьма признателен, за объяснение. Как-то я не догадался к этому.

mihailm
Я смог рассписать по координатам, получилось очень громоздко, ответ включает векторное, скалярное и мешаные произведения, поэтому думаю, что алгеброй получится логичней записань, но svv натолкнул меня на подход- попробую этим методом посмотрим, что получиться.
ewert, в условии координаты не были заданы, а просто сказано, что имееться три вектра в первом случае и два во втором.

[ewert]

svv в сообщении #506344 писал(а):

Найдите из этой системы $p$ и $q$, записав их в виде отношения определителей.

Непонятно, зачем именно определители, и неизвестно, кто такой Моденов; но гораздо интереснее другое. Во всяком случае, осознавать это гораздо полезнее, чем манипулировать формулками. А именно: что даст эта замечательная процедура, если условие всё-таки некорректно?...

[svv]

В книге Моденова ответ такой (в его обозначениях):

$$\mathbf{x}=\frac{(\mathbf{x}\mathbf{b}[\mathbf{a}\mathbf{b}])\mathbf{a}+(\mathbf{x}[\mathbf{a}\mathbf{b}]\mathbf{a})\mathbf{b}}{[\mathbf{a}\mathbf{b}]^2}$$

Я подгонял совет под ответ.

-- Пн ноя 21, 2011 19:50:26 --

ewert писал(а):

если условие всё-таки некорректно?

В каком смысле? В условии сказано, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ неколлинеарны.

ewert писал(а):

неизвестно, кто такой Моденов

Автор вопроса меня понял.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #506359 писал(а):

$(\mathbf{x}\mathbf{b}[\mathbf{a}\mathbf{b}])$

Это что он, смешанное произведение, что ли, так лихо круглыми скобками обозначает?... Тогда он пижон.

[svv]

Это 1967 год издания.
Я, кстати, сам не вынес таких обозначений и, при всем моем стремлении помочь получить именно ответ, данный в книге, обозначения изменил.

[ewert]

svv в сообщении #506359 писал(а):

В каком смысле? В условии сказано, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ неколлинеарны.

В том смысле, что третий вектор может быть первым двум и не компланарен. Что тогда даст эта процедура?... Вопрос вполне содержателен.

[svv]

Ортогональную проекцию $\mathbf{x}$ на линейную оболочку $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

[ewert]

svv в сообщении #506371 писал(а):

Ортогональную проекцию $\mathbf{x}$ на линейную оболочку $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

Вот ровно так и следовало бы ставить вопрос изначально.