Диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными

[Someone]

Извините, всё, что нужно, я написал. Читайте внимательнее. В частности, какие формулы для $m$ я писал в последних сообщениях.

[Dariny]

Если $r= 37$, тогда получаем $m = 37+73k$, следовательно:

$$\begin{cases}x=(1332 + (37+73k)^2 +73(37+73k))/73;\\ y=(1332 + (37+73k)^2 - 73(37+73k))/73;\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=(1332 + 1369)/73+ 74k+73k^2 +(37+73k);\\ y=(1332 + 1369)/73 +74k+73k^2 -(37+73k);\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=73k^2+ 147k + 74;\\ y= 73k^2+k.\end{cases}$$

Если же $r= 36$, тогда получаем $m = 36+73k$, следовательно:

$$\begin{cases}x=(1332 + (36+73k)^2 +73(36+73k))/73;\\ y=(1332 + (36+73k)^2 - 73(36+73k))/73;\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=(1332 + 1296)/73+ 72k+73k^2 +(36+73k);\\ y=(1332 + 1296)/73+ 72k+73k^2 -(36+73k);\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=73k^2 + 145k +72 ;\\ y= 73k^2 - k.\end{cases}$$

Но для меня по-прежнему остаётся не очевидным, почему $m = r +73k$?
И я нашёл $r$ перебором, на ваш взгляд, отыскать его по-другому никак нельзя?

[Someone]

Dariny в сообщении #506132 писал(а):

Но для меня по-прежнему остаётся не очевидным, почему $m = r +73k$

Потому что все числа такого вида имеют одинаковый остаток при делении на $73$, и то же самое можно сказать об их квадратах, кубах...

Dariny в сообщении #506132 писал(а):

И я нашёл $r$ перебором, на ваш взгляд, отыскать его по-другому никак нельзя?

Я тоже нашёл перебором. Но я не знаток теории чисел, может быть, кто-нибудь из специалистов укажет более короткий путь.

Вам осталось ещё небольшое упражнение. Вы, возможно, радуетесь, что нашли две серии решений. На самом деле она одна. Подставьте в одну из серий $(-k-1)$ вместо $k$ и посмотрите, что получится.

-- Пн ноя 21, 2011 15:32:53 --

Прошу прощения, я нехорошо выразился. Можно считать, конечно, что серий две, но, когда Вы сделаете подстановку, Вы увидите, что, имея одну серию, вторую можно получить без вычислений (это, кстати, следует и из вида Вашего уравнения).

[Shadow]

Другой способ, если Вам будет легче - решить уравнение $(x+y-73)^2=4xy+1$. Левая часть $2a-1$ Получается система $x+y=...,xy=...$

[Dariny]

Цитата:

Потому что все числа такого вида имеют одинаковый остаток при делении на $73$, и то же самое можно сказать об их квадратах, кубах...

Да, действительно логично, об этом я не подумал. Спасибо.

Цитата:

На самом деле она одна. Подставьте в одну из серий $(-k-1)$ вместо $k$ и посмотрите, что получится.

Да, я понимаю, спасибо за уточнение.

Цитата:

Я тоже нашёл перебором. Но я не знаток теории чисел, может быть, кто-нибудь из специалистов укажет более короткий путь.

Благодарю за помощь. Теперь один вариант решения у меня есть. Буду искать более короткий путь

-- 21.11.2011, 16:36 --

Shadow в сообщении #506147 писал(а):

Другой способ, если Вам будет легче - решить уравнение $(x+y-73)^2=4xy+1$. Левая часть $2a-1$ Получается система $x+y=...,xy=...$

При такой подстановке задачу можно будет решить иначе, чем перебором?

[venco]

Без переборов легко заметить, что $5328=73^2-1$, т.е. исходное уравнение можно представить в виде:
$(x-y)^2-1=73(2(x+y)-73)$
или
$(x-y-1)(x-y+1)=73(2(x+y)-73)$
Т.к. 73 - простое, и справа нечётное число, то должно быть $x-y=73(2t+1)\pm 1$ откуда сразу получаем два решения, которые переходят друг в друга перестановкой $x$ и $y$.

[Shadow]

$ \\x+y-73=2a-1\\ x+y=2a+72\\ xy=a^2-a $
По формулам Виета x,y корни уравнения
$z^2-2(a+36)z+a^2-a=0$

$D=(a+36)^2-a^2+a=73a+36^2=b^2$
$73a=(b-36)(b+36)$
73 простое, значит $b=73k\pm36$
Откуда $a=73k^2\pm 72k$

$z_1=x=36+a+b=36+73k^2+72k+73k+36=73k^2+145k+72$
$z_2=y=36+a-b=36+73k^2+72k-73k-36=73k^2-k$

Другой случай можно не рассматривать, т.к корни переходят один в другой

Venco проще решил

[nnosipov]

О каком переборе идёт речь? Ведь $73$ --- простое число, поэтому всё довольно очевидно (сравнение $x^2 \equiv 1 \pmod{73}$ имеет только два решения $x \equiv \pm 1 \pmod{73}$).

Вот такой вариант задачки, как здесь topic51057.html поинтересней будет.

[Батороев]

Dariny в сообщении #505485 писал(а):

Приветствую всех! Меня мучает вопрос, как найти корни диофантова уравнения или доказать их отсутствие (за исключением перебора, конечно): $x^2 - 2 x y + y^2 -146x -146y+5328 = 0$ при условии, что оба корня должны быть больше нуля???

Приняв $y$ за параметр и решая квадратное уравнение относительно переменного $x$, получаем дискриминант $292y+1$.

(Оффтоп)

У-у-у, афтары задач!!! Нет, чтобы в условии поменять один из знаков перед $146x$ или перед $146y$!!!

Далее решаем Диофантово уравнение: $292y=a^2-1$.