Поток векторного поля через плоскость

[Lazy]

Уважаемые математики! Задача очень простая, я уже учебник 5 раз прочел. Похоже, банально туплю
Помогите, пожалуйста, разобраться...

Задача. Вычислить поток векторного поля $F = xi + yj + zk$ через участок плоскости $4x + 2y + z -2 = 0$, расположенный в первом октанте, вдоль нормального вектора плоскости.

Мое решение. Поток в этом случае вычисляется по следующей формуле:
$F = \iint_{S}(x cos(\alpha) + y cos(\beta) + z cos(\gamma)) d\sigma$,
где $S$ - указанная поверхность.

Найдем косинус угла $\gamma$ между нормалью к поверхности $S$ и плоскостью $oXY$:
$cos(\gamma) = \frac 1 {\sqrt{1 + z^{'2}_x + z^{'2}_y}} = \frac 1 {\sqrt{21}}$.
Здесь $z^'_x$ и $z^'_y$ - производные соответственно по $x$ и $y$ уравнения плоскости.

Теперь заменим интеграл по поверхности на интеграл по области $D$ - проекции поверхности на плоскость $oXY$, тогда:
$cos(\gamma)d\sigma = dxdy$ и $z = z(x,y) = 2 - 4x - 2y$.

Перепишем уравнение потока: $F = \iint_{D}(x cos(\alpha) + y cos(\beta) + (2 - 4x - 2y) cos(\gamma)) \sqrt{21} dxdy$
Далее вопрос! Нужно ли мне находить косинусы $\alpha$ и $\beta$, или я уже неправильно переписал уравнение?

Собственно, сам интеграл по области проекции не вызывает трудностей, но с ответом не сходится... Может быть я в преобразованиях где-то ошибку допустил?

На всякий случай правильный ответ: $1/2$.

Помогите! Завтра сдавать уже...

[ewert]

Lazy в сообщении #506099 писал(а):

Вычислить поток векторного поля <...> вдоль нормального вектора плоскости.

"Поток вдоль вектора" -- это круто. Кто это вас учит такие нехорошие слова произносить?...

По существу же тут никаких интегралов не нужно. Уравнение плоскости -- это $(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0$, где $\vec r_0$ -- любая фиксированная точка на плоскости и $\vec n$ -- вектор нормали. И если эта нормаль единичная, то $\vec r\cdot\vec n\equiv\vec r_0\cdot\vec n$, т.е. вдоль всей плоскости $\vec F(\vec r)\cdot\vec n=\vec r\cdot\vec n$ постоянно и равно расстоянию от начала координат до плоскости. Это расстояние находится шаблонно: надо привести уравнение плоскости к нормальному виду, тогда получившийся свободный член, т.е. $\frac{2}{\sqrt{21}}$, тем расстоянием и будет. Т.е. поток равен $\frac{2}{\sqrt{21}}$, умноженному на площадь треугольника, ну а уж площадь можно искать как угодно, хоть через векторное произведение, хоть через проекцию на какую-либо координатную плоскость.

[svv]

Как сказал бы ewert, "да не нужно никаких корней, нормальных видов и расстояний. Всё гораздо проще".

Под интегралом у нас $\vec r\cdot\vec n=\vec r_0\cdot\vec n$, где точка $\vec r_0$ -- любая фиксированная точка на плоскости? Так и выберем точку с удобными координатами $(0, 0, z_0)$, где $z_0=2$ находится из уравнения плоскости подстановкой $x=y=0$. Тогда
$\int \vec r \cdot d\vec S =\int \vec r_0 \cdot d\vec S =\int z_0 \,dS_z = z_0 \,S_z$ ,
последний множитель -- это площадь проекции куска плоскости на $Oxy$, т.е площадь треугольника, ограниченного осями и прямой $4x+2y+0=2$, она равна $\frac 1 4$.

Ответ: $z_0\, S_z=2\cdot \frac 1 4 =\frac 1 2$.

[Lazy]

Что значит разносторонний взгляд на проблему! Математика - сила!

А я уперся как баран... Дело просто в том, что это контрольная по интегральному исчислению. Поток векторного поля я никогда раньше не считал, в учебнике написано через интегралы. Я и начал разбираться . Безусловно, ваше решение намного рациональнее и красивее!

Большое спасибо!

[ewert]

Lazy в сообщении #506154 писал(а):

Дело просто в том, что это контрольная по интегральному исчислению.

Интеграл Вы написали правильно, только не довели подстановки до конца. Если же косинусы подставить аккуратно, то все переменные и все корни сократятся (естественно), и останется под интегралом просто двойка.