О квадратных корнях

[Sasha2]

Интересно, а можно ли тот факт, что некоторое цело число не является точным квадратом, записать, не пользуясь знаками неравенства, больше и меньше, а только с использованием одного лишь знака равенства?

[Gordmit]

$\sqrt{n}=\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$

[Capella]

Eсть даже специальный символ $\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$

[Sasha2]

Ну понятно, Вы использовали тот факт, что корень квадратный (да и любой иной степени) из целого числа может быть только либо числом тем же целым или иррациональным. Ну вообще то хотелось бы получить на это ответ в терминах только одних целых чисел. Ну что то типа: если n не является квадратом другого целого числа, то тогда: ...

[Gordmit]

... существует простое число, нечетная степень которого делит данное число $n$:

$$\exists p:\quad p^\alpha|n, \quad \alpha=2k-1.$$

Т.е. $n=p^{\alpha}q$, $(p,q)=1$, $p$ - простое, $\alpha=2k-1$, $q, k,\alpha\in\mathbb{N}$.
Вроде использовал только знаки равенства

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

... существует простое число, нечетная степень которого делит данное число $n$:

$$\exists p:\quad p^\alpha|n, \quad \alpha=2k-1.$$

Т.е. $n=p^{\alpha}q$, $p$ -- простое, $(p,q)=1$, $\alpha=2k-1$, $q\in\mathbb{Z},\quad k,\alpha\in\mathbb{N}$.
Вроде использовал только знаки равенства

Первая часть Вашего высказывания:

Цитата:

... существует простое число, нечетная степень которого делит данное число $n$:

$$\exists p:\quad p^\alpha|n, \quad \alpha=2k-1.$$

не равносильна второй его части:

Цитата:

Т.е. $n=p^{\alpha}q$, $p$ -- простое, $(p,q)=1$, $\alpha=2k-1$, $q\in\mathbb{Z},\quad k,\alpha\in\mathbb{N}$.

.

[Gordmit]

Согласен, был слегка невнимателен при формулировке:
В первом высказывании $p^\alpha|n$ следует заменить на $p^\alpha||n$.

(На всякий случай напомню, что $p^\alpha||n$ означает, что $p^\alpha|n$, но $p^{\alpha+1}\not|n$.)

Впрочем, вторая часть вполне самостоятельно может сыграть роль требуемого утверждения.

[ИСН]

$2|\tau(n)$