Распределение Райса-Релея-..?

[samba]

Здравствуйте,
Нужна помощь...
имеется ф-ция: $f(x,y)=\frac {1}{1+c (x^2 + y^2 )}$
где
x и y - случайные величины (все статистические параметры известны, нормальный закон распределения)
Требуется найти ф-цию плотности распределения сл. величины f.

Напрашивается решение:
принять $z=\sqrt{x^2 + y^2 }$, тогда
-если x и y - с.в. с нулевым сдвигом, то z- cл. величина распределенная по закону Релея.
- если x и y - с.в. с ненулевым сдвигом, то z- cл. величина распределенная по закону Райса-Релея.
- если x и y - с.в. с ненулевым сдвигом И ОТЛИЧАЮЩИМИСЯ ДИСПЕРСИЯМИ, то
по какому з-ну распределена величина z?

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами. Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено.

[--mS--]

samba в сообщении #505489 писал(а):

- если x и y - с.в. с ненулевым сдвигом И ОТЛИЧАЮЩИМИСЯ ДИСПЕРСИЯМИ, то
по какому з-ну распределена величина z?

Берёте плотность квадрата $f_{X^2}(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\left(f_X(\sqrt{t})-f_X(-\sqrt{t})\right)$, второго квадрата, подставляете в формулу свёртки, и получаете, при $x>0$, интеграл

$$f_{X^2+Y^2}(x)=\int\limits_{0}^{x} \dfrac{1}{8\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{t(x-t)}}\left(e^{-\frac{(\sqrt{t}-a)^2}{2\sigma_1^2}} - e^{-\frac{(-\sqrt{t}-a)^2}{2\sigma_1^2}}\right)\cdot \left(e^{-\frac{(\sqrt{x-t}-b)^2}{2\sigma_2^2}} - e^{-\frac{(-\sqrt{x-t}-b)^2}{2\sigma_2^2}}\right) \, dt. $$

Что с ним делать, право, не знаю. Но зато плотность корня из суммы квадратов через него выражается просто: $f_{\sqrt{X^2+Y^2}}(x)=2x\cdot f_{X^2+Y^2}(x^2)$.