Диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными

[Dariny]

Приветствую всех! Меня мучает вопрос, как найти корни диофантова уравнения или доказать их отсутствие (за исключением перебора, конечно): $x^2 - 2 x y + y^2 -146x -146y+5328 = 0$ при условии, что оба корня должны быть больше нуля???

[Someone]

$$\begin{cases}x=73k^2+145k+72\\ y=73k^2-k\end{cases}$$

$k$ - любое целое число, кроме $0$ и $-1$.

P.S. А почему в этом разделе?

[Toucan]

Someone в сообщении #505496 писал(а):

P.S. А почему в этом разделе?

Переехали в учебный раздел.

[Null]

Перейдите к новым переменным $p=x+y, q=x-y$. Ваше уравнение упроститься.

[Dariny]

Someone в сообщении #505496 писал(а):

$$\begin{cases}x=73k^2+145k+72\\ y=73k^2-k\end{cases}$$

$k$ - любое целое число, кроме $0$ и $-1$.

Да это интересно, а вы не могли бы мне объяснить, как вы выразили x и y через параметр k?

-- 20.11.2011, 17:28 --

Null в сообщении #505581 писал(а):

Перейдите к новым переменным $p=x+y, q=x-y$. Ваше уравнение упроститься.

Уравнение упростится, а решать-то его как?

[Someone]

Dariny в сообщении #505747 писал(а):

Уравнение упростится, а решать-то его как?

Ну, я именно с такой замены и начал. Потом, посмотрев на получившееся уравнение, можно понять, что $p$ и $q$ - чётные (попробуйте объяснить, почему). Поэтому можно сделать замену $q=2m$ и $p-36=2n$. А дальше уже совсем просто.

[Dariny]

Someone в сообщении #505793 писал(а):

Dariny в сообщении #505747 писал(а):

Уравнение упростится, а решать-то его как?

Ну, я именно с такой замены и начал. Потом, посмотрев на получившееся уравнение, можно понять, что $p$ и $q$ - чётные (попробуйте объяснить, почему). Поэтому можно сделать замену $q=2m$ и $p-36=2n$. А дальше уже совсем просто.

После подстановки получаем $q^2 - 146 p + 5328 =0$, поскольку q - чётное, следовательно p - также чётное (т.к. если $p=x-y$ - чётное, следовательно $x+y$ - тоже чётное). Таким образом, то, что $q=2m$ - ясно, а как вы осуществили замену $p-36=2n$? И при помощи какого алгоритма вы переходите от переменных $m$ и $n$ к параметру $k$?

[Someone]

Dariny в сообщении #505822 писал(а):

Таким образом, то, что $q=2m$ - ясно, а как вы осуществили замену $p-36=2n$?

Подставьте в уравнение $q=2m$, и Вы увидите, что $p$ тоже чётное. А $5328=146\cdot 36+72$, отсюда и $36$. А потом нужно выразить из получившегося уравнения $n$ и подумать, каким должно быть $m$, чтобы $n$ было целым.

[Dariny]

Цитата:

Подставьте в уравнение $q=2m$, и Вы увидите, что $p$ тоже чётное. А $5328=146\cdot 36+72$, отсюда и $36$. А потом нужно выразить из получившегося уравнения $n$ и подумать, каким должно быть $m$, чтобы $n$ было целым.

При подстановке получаем $q^2 - 146 (p-36) +72 = 0$, следовательно $m^2 - 73n+18=0$, выражаем $n = (18+m^2)/73$. Далее составляем систему уравнений с параметром $m$:
$x-y=2m$
$x+y=2 (18+m^2)/73+36$, тогда
$x = (1332 + m^2 +73m)/73$ и
$y = (1332 + m^2 - 73m)/73$,

однако то красивое решение, которое вы привели в самом начале я так и не получаю. Не могли бы вы мне более подробно изложить алгоритм решения данной задачи? Дело в том, что он мне необходим для реализации на программном уровне. Как вы понимаете - я не вижу алгоритма и поэтому не могу его осуществить.

[Someone]

Someone в сообщении #505837 писал(а):

А потом нужно выразить из получившегося уравнения $n$ и подумать, каким должно быть $m$, чтобы $n$ было целым.

А Вы хоть и выразили (причём, неправильно), но над этим вопросом не подумали.

[Dariny]

Если $n= (18+m^2)/73$, то $m$ и $n$ - нечётные, а $m^2 = 55 +73t$, где $t$ - целое неотрицательное число. Вероятно, Вы подразумеваете еще какие-то аналитические выводы из полученного выражения $n$ через $m$?

[Someone]

Разумеется, Вы должны были получить решение для $m$ в виде $m=r+73k$, где $0\leqslant r\leqslant 72$, и уже тогда подставлять это в выражение для $n$. Осталось только найти $r$. Подберите, что ли.

[Dariny]

Цитата:

Разумеется, Вы должны были получить решение для $m$ в виде $m=r+73k$

Как Вы перешли от выражения $m^2 = 55+73t$ к выражению $m=r+73k$? Для меня это не очевидно, поясните, если можно.

Т.о. получаем $m^2= r^2+146kr +73^2 k^2$, подставляем в $n$, получаем $n = (18+r^2+146kr +73^2 k^2)/73$. Т.о. $r^2 = 55+73h$, поскольку $0\leqslant r\leqslant 72$, то такого $r$ вообще не существует.

[Someone]

Существует, даже два. Ищите лучше. Выгоднее, наверное, подбирать $h\geqslant 0$, чтобы $73h+55$ было точным квадратом.

[Dariny]

Да, вы правы, существует. Таким образом $r$ равно 36 или 37. Поскольку $m^2 = 55+73t$, то и $m$ равно 36 или 37, поскольку $m$ - нечётное, нам подходит 37. Далее вычисляем $n$ и соответственно и $x$ и $y$.
$n = (18+37^2)/73 = 19$, тогда $x = 74$, а $y=0$
Но дело в том, что мне необходимо найти корни, отличные от нуля.