Параметрическое уравнение

[Nikys]

Найти все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет единственное действительное решение:
$4(\sin^6x+\cos^6x)-a \cdot 2^{8x-16x^2}+a^2+4a-4=0$

Очевидными преобразованиями из $4(\sin^6x+\cos^6x)$ было получено $3\cos4x + 1$. Тогда уравнение приобретает вид:
$3\cos4x - a \cdot 2^{8x-16x^2} + a^2 + 4a - 3=0$
Сначала размышлял рассмотреть дискриминант квадратного уравнения при его равенстве нуля и поискать единственное значение. К сожалению, метод не сработал. Да и как-то он работает не для всех вариантов, нужен более универсальный метод. Разве что из дискриминанта имеем некоторые ограничения. Не могли бы подкинуть идею?

[Praded]

По вашему уравнению имеем, в силу определения косинуса, $3\cos4x-3=0$. Показательное уравнение решить не сложно.

[Хорхе]

(Оффтоп)

В чем сила, брат? В определении косинуса!

Откуда такое равенство, непонятно, и определение тут не при чем.

-- Сб ноя 19, 2011 10:51:49 --

Ага, преобразования, хоть и очевидны, но неправильны. $\cos 4x$ там будет, но больше ничего не совпало. Преобразуйте правильно, тогда будем думать дальше.

[Praded]

Преобразования ТС не проверял. А из его последнего уравнения следует, что всё сводится к $\left(y-b\right)^2=0$, откуда и видно, что $3\cos4x-3=b^2\geqslant0$.

[Хорхе]

Ничего не сводится, не выдумывайте.

[Praded]

(Оффтоп)

Действительно, ступил.

[Nikys]

Каюсь, ночью делал, перепутал всё...
$4(\sin^6x+\cos^6x)=4(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=4(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=4((\cos^2x+\sin^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x)=4 - 3\sin^22x=1+\cos^22x$
Попробую ещё раз подумать над задачей...

-- 19.11.2011, 17:54 --

Где-то опять ошибся...проспаться, что ли... Ладно, ищу ошибку. Если даже на обычных преобразованиях делаю ошибки...

Хотя не ошибка. Просто иначе можно переписать момент
$4(\cos^4x-\sin^2x\cos^2x+\sin^4x)=4((\cos^2x-\sin^2x)^2+\sin^2x\cos^2x)=4\cos^22x+\sin^22x=3\cos^22x+1=\frac{3}{2}(2\cos^22x-1)+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}(3\cos4x+5)$

Т.е., изначальное уравнение имеет вид
$A=\frac{1}{2}(3\cos4x+5)-a\cdot2^{8x-16x^2}+a^2+4a-4=0$
$a^2+4a - a\cdot2^{8x-16x^2}\geq 0 (1)$
$a^2+4a - 3 - a\cdot2^{8x-16x^2}\leq 0 (2)$

[Shadow]

$ \\4-3\sin^2{2x}\\ \frac{1}{2}(3\cos{4x}+5) $
верны,
$1+2\cos^2{2x}$ нет

[Nikys]

Shadow
Где вы видели там $1+2\cos^22x$?..
Двойного квадрата косинуса там и не было, только одинарный...
Но он неправилен, правда
$1+3\cos^22x$ таки вышел...

[Shadow]

Nikys в сообщении #505449 писал(а):

Двойного квадрата косинуса там и не было, только одинарный...

Да, именно он и неправильный $1+\cos^2{2x}$ неверно.
С Latex ом часто недопонимаем друг друга

[Nikys]

Shadow, бывает)) А мне высыпаться больше надо, чтобы я сам себя допонимал...))

Продолжаю умозаключения.
Ввиду того, что уравнение $16x^2-8x+2=0$ не имеет действительных решений,
$16x^2-8x+2 > 0 \leftrightarrow 8x-16x^2<2 \rightarrow 2^{8x-16x^2}<4$
Тогда из неравенства (1):
$a(a+4 - 2^{8x-16x^2})\geq 0$
$a \in [2^{8x-16x^2}-4;0]$
Минимум выражения $2^{8x-16x^2}-4$ отсутствует, но стремится к -4.
$a \in (-4;0]$
Хоть ограничилось да чуть-чуть... Что ж, думаю дальше.

[Praded]

$\dfrac{3}{2}(\cos4x-1)+a^2+2a\left[2-\dfrac{1}{2^{(4x-1)^2}}\right]=0$