Уравнение кривой 2 порядка. :С

[Aksrage]

Изначально уравнение было $11x^2-20xy-4y^2-20x-8y+1=0$
привести к каноническому виду не можем, т.к. есть xy, заменяем
получается:
$11/5*(2*x'-y')^2-4*(x'+2*y')*(2*x'-y')-4/5*(x'+2*y')^2-20*(2*x'-y')/корень(5) - 8*(x'+2*y')/корень(5)+1=0$
преобразовал:
$7*y'^2-24*x'*y'+4*y'/корень(5)-48*x'/корень(5)+1=0$
xy остался кто подскажет что делать дальше?

[ИСН]

Как что делать: если лето - варить варенье, если зима - пить с этим вареньем чай.
Или Вам что-то было нужно от именно этой кривой? Что?

[alcoholist]

Aksrage в сообщении #504584 писал(а):

заменяем
получается

ничего у Вас не получается:)

Определите для начала вид кривой, потом покрутите, потом сдвиньте: в любом учебнике по аналитической геометрии есть алгоритм.

[Aksrage]

ИСН в сообщении #504592 писал(а):

Как что делать: если лето - варить варенье, если зима - пить с этим вареньем чай.
Или Вам что-то было нужно от именно этой кривой? Что?

каноническое уравнение

-- 16.11.2011, 21:33 --

Сравнивая графики я понимаю, что накосячил с подстановкой. но где :О

[ИСН]

Ах, это. Ну, надо повернуть. На сколько - я на память не помню. Будучи в Вашей ситуации, попробовал бы сначала повернуть на такой же угол в другую сторону (вдруг перепутал?), а потом - в случае неудачи - сел бы и вывел честно, сколько там надо.

[Aksrage]

ИСН в сообщении #504606 писал(а):

Ах, это. Ну, надо повернуть. На сколько - я на память не помню. Будучи в Вашей ситуации, попробовал бы сначала повернуть на такой же угол в другую сторону (вдруг перепутал?), а потом - в случае неудачи - сел бы и вывел честно, сколько там надо.

Вся соль этого уравнения в угле поворота
он не очень приятный. ctg2a=0.75

[alcoholist]

Aksrage в сообщении #504609 писал(а):

0.75

это не емкость все-таки

$3/4$ -- египетский треугольник

[ewert]

Судя по коэффициентам, составители имели в виду способ приведения к каноническому виду, основанный на переходе к ортогональному собственному базису (там собственные числа целые получаются: $16$ и $-9$).

-- Чт ноя 17, 2011 09:12:46 --

alcoholist в сообщении #504754 писал(а):

$3/4$ -- египетский треугольник

Он не египетский (т.е. египетский там тоже будет, но потом, совсем в другом месте и совершенно случайно). А тут нужен не двойной, а просто угол, и его тангенс ещё проще.

[phys]

Пишите матрицу с коэфф. многочленов, находите собственные вектора и пляшите оттуда, там все гораздо проще. Есть в любом учебнике по линейной алгебре.

[VAL]

phys в сообщении #504785 писал(а):

Пишите матрицу с коэфф. многочленов, находите собственные вектора и пляшите оттуда, там все гораздо проще. Есть в любом учебнике по линейной алгебре.

Разумеется, можно и через матрицы. Но я бы советовал ТС довести до конца вариант с поворотом. Чтобы не сложилось впечатление, что поворотом избавиться от члена с $xy$ удается не всегда.
Тем более, что в данном конкретном случае углы хорошие и вычисления не громоздкие.

[bot]

(Оффтоп)

Дык собственные лямды и собственные оси все же проще и не требуют нахождения какого-то угла поворота. Угол можно найти попутно, если этого специально потребуют.
Ситуация примерно та же, что и с вычислением производной по направлению. Считающие "по формуле" исписывают порой целую страницу, вычисляя углы вместо того, чтобы в полстрочки отнормировать вектор.

[ewert]

VAL в сообщении #504791 писал(а):

Тем более, что в данном конкретном случае углы хорошие и вычисления не громоздкие.

А они ровно потому и хорошие, что хороши собственные числа. Более того, хорошесть углов в глаза не бросается (вот и в этом примере египетский треугольник лишь причудился, к поворотам отношения он не имеет), с.ч. же если уж хорошие -- то железно хорошие. Ещё более того: они тут настолько хорошие (чистые квадраты), что даже и полуоси гиперболы хорошими выходят.

Так что в данной конкретной задачке -- без вариантов: она совершенно явно была сочинена на использование именно собственных чисел и векторов -- и ни на что иное.

[VAL]

ewert в сообщении #504961 писал(а):

VAL в сообщении #504791 писал(а):

Тем более, что в данном конкретном случае углы хорошие и вычисления не громоздкие.

А они ровно потому и хорошие, что хороши собственные числа.

Совершенно верно. А они, в свою очередь хороши, потому что хорошую гиперболу повернули на хороший угол

Цитата:

Так что в данной конкретной задачке -- без вариантов: она совершенно явно была сочинена на использование именно собственных чисел и векторов -- и ни на что иное.

Не убедили.
То есть, вполне допускаю, что так и было.
Но допускаю, что имелся в виду и поворот системы координат.
В свое время (лет двадцать назад) я писал генератор заданий по кривым второго порядка.
Алгоритм был такой: брал хорошую кривую в каноническом виде и поворачивал на хороший угол (ну и параллельным переносом смещал). А решать надо было "в обратную сторону", но метод студенты сами выбирали: хошь поворотом, а хошь через собственные значения.
Так вот, удивительно, но всякий раз получались хорошие собственные значения и собственные векторы!

PS: Разумеется, рациональность тангенса необходимое, но недостаточное условие "хорошести" угла поворота.

[ewert]

VAL в сообщении #504996 писал(а):

Разумеется, рациональность тангенса необходимое, но недостаточное условие "хорошести" угла поворота.

Если говорить о тангенсе именно угла поворота (а не удвоенного), то -- необходимое и достаточное. Но это ровно то же самое, что сгенерировать целочисленный ортогональный базис, с той лишь разницей, что генерировать в терминах собственных базисов гораздо удобнее.

Правда, когда дело доходит до фактической генерации, возникают технические нюансы. Во-первых, ограничиться "пифагоровыми" базисами не удастся -- их (таких, для которых при вычислениях не возникает неоправданно больших чисел) безумно мало. Поэтому сдвиги "почти всегда" будут получаться иррациональными -- а значит, просто всегда (для обеспечения однородности заданий); ну и бог с ними. Во-вторых, разумных рациональных комбинаций полуосей тоже не так много. В-третьих, придётся произвести как минимум три дополнительных отбраковки: на несократимость уравнения; на общую величину коэффициентов в условии и по ходу решения; на то, чтобы полуоси и сдвиги были бы более-менее одного порядка.

[svv]

И все эти проблемы происходят от того, что преподаватели боятся перегрузить студентов, а заодно и самих себя.