2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 19:31 


16/10/11

77
Если такое на форуме уже было, заранее прошу прощения.

Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
(50 Всеукраинская ученическая олимпиада по математике)

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 20:32 
Заслуженный участник


04/05/09
4596
Что-то совсем тривиальная задача. Для какого класса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 20:35 


16/10/11

77
venco в сообщении #504906 писал(а):
Что-то совсем тривиальная задача. Для какого класса?

Не помню точно. Но решение уж слишком красивое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 20:47 


15/03/11
137
ищем пифагоровы тройки $a_2^2+a_2^2=b_1^2$, затем $b_1^2+a_3^2=b_2^2$ и т.д. В итоге получаем

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=b_4^2$

Ну и дальше делим всё равенство на $b_4^2$

Например

$$\left(\frac{3}{3613}\right)^2+\left(\frac{4}{3613}\right)^2+\left(\frac{12}{3613}\right)^2+\left(\frac{84}{3613}\right)^2+\left(\frac{3612}{3613}\right)^2=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
zhekas, лыжную палку Вам в...! Чёрт, пока набирал именно эту самую красоту - опередили.
Да ладно, подумаешь, печаль. Проще нельзя, что ли? Первые числа возьмём 1, 3, 5 и 7, а пятое подгоним, чтобы в сумме квадратов вышел квадрат же (для этого надо недосумму разлагать на множители - это же причина, почему не годится 1, 2, 3, 4 - и там смотреть). Можем? Фигня вопрос!
$$\left({1\over10}\right)^2+\left({3\over10}\right)^2+\left({4\over10}\right)^2+\left({5\over10}\right)^2+\left({7\over10}\right)^2=...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 21:12 
Заслуженный участник


02/08/10
629
zhekas в сообщении #504911 писал(а):
ищем пифагоровы тройки $a_2^2+a_2^2=b_1^2$, затем $b_1^2+a_3^2=b_2^2$ и т.д. В итоге получаем

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=b_4^2$

Ну и дальше делим всё равенство на $b_4^2$

Например

$$\left(\frac{3}{3613}\right)^2+\left(\frac{4}{3613}\right)^2+\left(\frac{12}{3613}\right)^2+\left(\frac{84}{3613}\right)^2+\left(\frac{3612}{3613}\right)^2=1$$

А можно сделать так :

$\displaystyle \left(\left(\left(\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$
И так для скольки угодно квадратов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление единицы (несложная задача с красивым решением)
Сообщение17.11.2011, 21:16 


16/10/11

77
ИСН в сообщении #504914 писал(а):
zhekas, лыжную палку Вам в...! Чёрт, пока набирал именно эту самую красоту - опередили.
Да ладно, подумаешь, печаль. Проще нельзя, что ли? Первые числа возьмём 1, 3, 5 и 7, а пятое подгоним, чтобы в сумме квадратов вышел квадрат же (для этого надо недосумму разлагать на множители - это же причина, почему не годится 1, 2, 3, 4 - и там смотреть). Можем? Фигня вопрос!
$$\left({1\over10}\right)^2+\left({3\over10}\right)^2+\left({4\over10}\right)^2+\left({5\over10}\right)^2+\left({7\over10}\right)^2=...$$

Почти как у меня.
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ негоже, не квадрат.
$1^2+2^2+3^2+4^2+n^2=30+n^2$ негоже, 30 не может быть разностью квадратов (2 по модулю 4).
$1^2+2^2+3^2+5^2=39$ - разность квадратов.
$1^2+2^2+3^2+5^2+19^2=400$ оппаньки - квадрат!
$(1/20)^2+(2/20)^2+(3/20)^2+(5/20)^2+(19/20)^2=1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Neos


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group