Представление единицы (несложная задача с красивым решением)

[vivaldi]

Если такое на форуме уже было, заранее прошу прощения.

Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
(50 Всеукраинская ученическая олимпиада по математике)

[venco]

Что-то совсем тривиальная задача. Для какого класса?

[vivaldi]

venco в сообщении #504906 писал(а):

Что-то совсем тривиальная задача. Для какого класса?

Не помню точно. Но решение уж слишком красивое.

[zhekas]

ищем пифагоровы тройки $a_2^2+a_2^2=b_1^2$, затем $b_1^2+a_3^2=b_2^2$ и т.д. В итоге получаем

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=b_4^2$

Ну и дальше делим всё равенство на $b_4^2$

Например

$$\left(\frac{3}{3613}\right)^2+\left(\frac{4}{3613}\right)^2+\left(\frac{12}{3613}\right)^2+\left(\frac{84}{3613}\right)^2+\left(\frac{3612}{3613}\right)^2=1$$

[ИСН]

zhekas, лыжную палку Вам в...! Чёрт, пока набирал именно эту самую красоту - опередили.
Да ладно, подумаешь, печаль. Проще нельзя, что ли? Первые числа возьмём 1, 3, 5 и 7, а пятое подгоним, чтобы в сумме квадратов вышел квадрат же (для этого надо недосумму разлагать на множители - это же причина, почему не годится 1, 2, 3, 4 - и там смотреть). Можем? Фигня вопрос!

$$\left({1\over10}\right)^2+\left({3\over10}\right)^2+\left({4\over10}\right)^2+\left({5\over10}\right)^2+\left({7\over10}\right)^2=...$$

[MrDindows]

zhekas в сообщении #504911 писал(а):

ищем пифагоровы тройки $a_2^2+a_2^2=b_1^2$, затем $b_1^2+a_3^2=b_2^2$ и т.д. В итоге получаем

$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=b_4^2$

Ну и дальше делим всё равенство на $b_4^2$

Например

$$\left(\frac{3}{3613}\right)^2+\left(\frac{4}{3613}\right)^2+\left(\frac{12}{3613}\right)^2+\left(\frac{84}{3613}\right)^2+\left(\frac{3612}{3613}\right)^2=1$$

А можно сделать так :

$\displaystyle \left(\left(\left(\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}\right)\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$
И так для скольки угодно квадратов)

[vivaldi]

ИСН в сообщении #504914 писал(а):

zhekas, лыжную палку Вам в...! Чёрт, пока набирал именно эту самую красоту - опередили.
Да ладно, подумаешь, печаль. Проще нельзя, что ли? Первые числа возьмём 1, 3, 5 и 7, а пятое подгоним, чтобы в сумме квадратов вышел квадрат же (для этого надо недосумму разлагать на множители - это же причина, почему не годится 1, 2, 3, 4 - и там смотреть). Можем? Фигня вопрос!

$$\left({1\over10}\right)^2+\left({3\over10}\right)^2+\left({4\over10}\right)^2+\left({5\over10}\right)^2+\left({7\over10}\right)^2=...$$

Почти как у меня.
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ негоже, не квадрат.
$1^2+2^2+3^2+4^2+n^2=30+n^2$ негоже, 30 не может быть разностью квадратов (2 по модулю 4).
$1^2+2^2+3^2+5^2=39$ - разность квадратов.
$1^2+2^2+3^2+5^2+19^2=400$ оппаньки - квадрат!
$(1/20)^2+(2/20)^2+(3/20)^2+(5/20)^2+(19/20)^2=1$