2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 00:36 
Аватара пользователя


24/03/09
43
Питер
Доброго времени суток, уважаемые господа.
Вопрос я сейчас задам сильно странный :) Но матом прошу не ругаться.

со школы еще помню, как наш преподаватель по мат.анализу в теме комплексные числа доказывал нам, что на множестве комплексных, косинус может быть больше единицы. Для этого, как сейчас помню, он брал какую-то формулу и подставлял в нее значение угла. В результате получалось значение косинуса большее единицы. Может быть кто-нибудь напомнит мне, как бы наиболее наглядно показать это, с применением наименьшего количество формул?

Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17570
Москва
keksman в сообщении #504700 писал(а):
Может быть кто-нибудь напомнит мне, как бы наиболее наглядно показать это, с применением наименьшего количество формул?
Видимо, речь шла о формуле Эйлера $$\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2.$$ Подставляете в неё $\varphi=i$ и получаете требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7633
Москва

(Оффтоп)

Известная шутка "В военное время косинус может достигать четырёх" обычно трактуется неправильно - как рассказ о тупости военных. Однако авторы этой шутки - разработчики ракет, и не только владели алгеброй в школьных пределах, но и про комплексный аргумент знали. Есть версия, что возникла эта фраза, когда принимавший изделие артиллерийский генерал, дойдя до агрегата питания, на котором первоначально была рукоятка регулировки "косинуса $\varphi$" (отношения активной мощности к полной), но затем рукояткой стали управлять другим параметром, а шильдик с надписью оставили по небрежности старый, поинтересовался - "А разве косинус 4 бывает?", на что инженер-полковник браво и не оставляя времени на расспросы отрапортовал - "В военное время бывает!"

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 14:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А вот интересно, какую геометрическую интерпритацию можно дать этим большим косинусам.

Если угол действительный, то всё понятно. Строим прямоугольный треугольник с данным углом и косинус будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. А если угол комплексный, то косинус может оказаться больше $1$ (или ваще не действительным числом). Получается, что гипотенуза короче катета. Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Профессор Снэйп в сообщении #504814 писал(а):
Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?

По "продвинутому" определению косинус и синус - координаты точки на единичной окружности. Так что рисуем в пространстве $\mathbb{C}^2$ окружность $z^2+w^2=1,$ и гуляем по ней точкой... Кто скажет, что при $z=4,$ $w=i\sqrt{15}$ это у нас не прямоугольный треугольник? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 14:48 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


16/10/11

305
Цитата:
А вот интересно, какую геометрическую интерпритацию можно дать этим большим косинусам.

Если угол действительный, то всё понятно. Строим прямоугольный треугольник с данным углом и косинус будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. А если угол комплексный, то косинус может оказаться больше $1$ (или ваще не действительным числом). Получается, что гипотенуза короче катета. Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?
Это псевдоевклидова геометрия, в ней углы и стороны бывают комплексными, и она довольно наглядна

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2511
СПб
Munin в сообщении #504821 писал(а):
Так что рисуем в пространстве $\mathbb{C}^2$ окружность $z^2+w^2=1$

А почему не $z^2+w^2=i$? Окружность-то мнимая:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 15:12 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


16/10/11

305
и че?
это основное тригонометрическое тождество

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 17:59 
Заслуженный участник


23/07/08
8956
Харьков
Мне кажется, $z^2+w^2=1$ -- это не мнимая окружность, пусть и в $\mathbb{C}^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 20:15 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Это единичная окружность. Если так можно выразиться, "замыкание единичной окружности из $\mathbb A^2(\mathbb R)$ в $\mathbb A^2(\mathbb C)$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2511
СПб
Joker_vD в сообщении #504900 писал(а):
"замыкание единичной окружности из $\mathbb A^2(\mathbb R)$ в $\mathbb A^2(\mathbb C)$"



в какой топологии замыкание? И как вещественная плоскость лежит в комплексном двумерии?-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
alcoholist в сообщении #504830 писал(а):
Окружность-то мнимая:)

Мнимая, как изображение в геометрической оптике? ;-)

Между прочим, гипотенуза по всем правилам получается короче катета, ибо длина катета $\sqrt{w^{*}w}=\sqrt{15}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 20:55 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


16/10/11

305
и она больше единичной гипотенузы :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Косинус больше единицы.
Сообщение17.11.2011, 20:59 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
alcoholist в сообщении #504901 писал(а):
в какой топологии замыкание?

Зарисского? Я же говорю, в кавычках "замыкание". Можете считать, что я сказал "алгебраическое замыкание" :lol:

alcoholist в сообщении #504901 писал(а):
И как вещественная плоскость лежит в комплексном двумерии?-)

Э... Ну очень просто: $\mathbb A^2(\mathbb R) = \{ (x,y) \in \mathbb A^2(\mathbb C) \mid x,y \in \mathbb R \}$. Т.е. вещественная плоскость состоит из всех $\mathbb R$-рациональных точек комплексной плоскости.

Munin
Да, с расстояниями там весело...

 Профиль  
                  
 
 Возвращаясь к действительности (Re: Косинус больше единицы.)
Сообщение17.11.2011, 22:10 


29/09/06
4552
Я тут картинку нарисовал. На первом фрагменте зелёненькая фиксированнаая прямая, она совпадает с осью ординат. Синяя окружность как бы движется. Обе линии ориентированы. И есть угол $\psi$ пересечения между ними, иногда мнимый, типа $i\delta$, иногда комплексный, вроде $\pi+i\delta$. График цвета фуксии (прямая) — зависимость $\cos\psi(x)$, где $x$ — положение центра движущейся окружности. И этот косинус бывает 4, и даже больше.

Изображение

А на втором фрагменте я подменил зелёную прямую зелёной окружностью, тоже фиксированной. Ну, график в параболу превратился.

[updated 18.11]
Картину подправил. Для окружности $A\quad\psi=0$ (касание), для $B\quad\psi=\pi$ ("антикасание").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group