Оцените красоту формулы

[Апис]

Формула для определения колличества простых чисел на интервале(р-п)

\[P_n = nm_p - 1\]

\[P_n \]

-колличество простых чисел на интервале (р-п)
р-простые числа
п-натуральные числа

\[p^2 \leqslant n < (p_/ )^2 \]

Зависимость между значениями (п)и(р)
Например: п=168

\[11^2 \leqslant 168 < 13^2 \]

\[m_p = \frac{{(p - 1)!}}{{p!}}\]

Рекуррентная формула для определения значений

\[\frac{{(p - 1)!}}{{p!}}\]

\[\begin{gathered} m_2 = \frac{1} {2} = 0,5 \hfill \\ m_3 = 0,333... \hfill \\ m_5 = 0,2666 \hfill \\ m_7 = 0,2285714 \hfill \\ m_{11} = 0,20779220778 \hfill \\ p_n = nm_p - 1 = 168 \cdot 0,20779 - 1 = 33,9 \hfill \\ \end{gathered} \]

Истинное значение-34
В полученной формуле есть сходство с числовой функцией Элера, но там если принять мою терминологию, значения (р) получены при факторизации числа (п). А это совершенно другой подход.
Что на данный момент могу сказать о величине погрешности при вычислении? Практически ничего. Но всё же. Пока можно только определять максимальную величину погрешности (которая теоретически может быть) при вычислении. Рекуррентная формула для определения погрешности, это если быть честным, хоть что-то сказать, когда сказать нечего.
Вот потому-то я хотел бы предложить тем, кто хочет попробовать свои силы, доказать одно предположение. Может быть, доказывая это предположение, найдём направление для поиска величины погрешности. Сергей Ситников.

[Lion]

Если коротко, то Вы утверждаете, что количество простых чисел на интервале $(p;n)$ примерно равно $\frac{n}{p}-1$ (т.к. $m_p=1/p$). Насколько эта формула точна, я сразу сказать не могу. Возможно, следует использовать формулу Гаусса-Чебышева об оценке количества просты чисел, не превосходящих данное: $\pi(x)\approx\frac{x}{\ln x}$ при $x\to\infty$. Так что по идее количество простых чисел в интервале $(p;n)$ примерно равно $\frac{n}{\ln n}-\frac{p}{\ln p}$. В случае $p=2$ Ваша формула дает такую оценку: $\pi(n)\approx n/2-1$. Но она не очень-то точна. Так что, скорее всего, Ваша оценка будет достаточно хорошей только когда разность $n-p$ мала по сравнению с $n$ и $p$.

[AndAll]

Апис писал(а):

...если принять мою терминологию, .....

Хотя Ваш пост нелегко разобрать именно по этой причине, вероятнее всего Вы «открыли» формулу Лежандра для решета Эратосфена, правда, несколько усеченную. Вы можете её найти почти в любой книге по элементарной теории чисел.
На самом деле, отклонения от «истинного значения» для любых n будут не больше p, но все же несколько больше, чем в данном примере. Ваш результат будет тем более точен, чем больше простых делителей, меньших p будет иметь число n.
Желаю успеха в дальнейших исследованиях.

[e2e4]

Гы, я тоже самостоятельно открыл данный ряд:
0,5
0,333333333
0,266666667
0,228571429
0,207792208
0,191808192
0,180525357
0,171024022
0,163588195
И т.д.
Только вид форулы для этих значений будет следующий (в моих обозначениях ваше m имеет обозначение $HB_n$, где n - номер простого числа, $p_1 = 2$):
$HB_n = HB_{n-1}*(1- \frac {1}{p_{n-1}}) = \prod\limits_{i=1}^n (1- \frac {1}{p_i})$
Насколько я понимаю в вашей формуле неверно применяется знак !(факториал). Вы все-таки ведете перемножение по всем простым, а не по всем числам от 1 до $p_n$. В этом случае наши формулы эквивалентны.

Легко заметить далее, что
$ \frac{1}{HB_{n=\infty}} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \zeta (1)$, где $\zeta$ - Дзета-функция Римана

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

Применять данную формулу для приблизительной оценки кол-ва простых на интервале возможно, но чем большее значение простого мы возьмем,тем больше будет абсолютная погрешность оценки. Ситуацию можно исправить (чуть усовершенствовав метод), но это все ерунда, ибо всегда начиная с некоторого p ошибка будет больше произвольного e.
У меня имеются некоторое продолжение изысканий в данную область, но их я пока не хочу здесь описывать.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

AndAll писал(а):

Хотя Ваш пост нелегко разобрать именно по этой причине, вероятнее всего Вы «открыли» формулу Лежандра для решета Эратосфена, правда, несколько усеченную. Вы можете её найти почти в любой книге по элементарной теории чисел.

Скорее всего, эти формулы давно были известны, но я все-таки их не встречал в данном виде. Мои познания в математике слишком малы, чтобы судить о новизне данных изысканий.

[Апис]

Странно, никто даже не поинтересовался как я получил эту формулу. Вы судите о формуле по её внешнему виду. Такой подход мне не понятен.

[e2e4]

Данную формулу можно получить, последовательно рассмотрев, сколько "в целом" вычеркивает (по алгоритму решета Эратосфена) каждое следующее простое число из всего ряда натуральных чисел, не вычеркнутых предыдущими простыми:
$p_1 = 2$ Вычеркивает $\frac {1}{2}$ всех натуральных чисел, соответсвенно невычеркнутыми останутся $\frac{1}{2}$ всех чисел
$p_2 = 3$ Вычеркивает $\frac{1}{2} * \frac{1}{3}= \frac{1}{6}$ всех натуральных чисел, соответственно невычеркнутыми останутся $\frac{1}{2}-\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ всех натуральных чисел
и т.д.
Как это применить к оценке кол-ва простых на интервале? Следующим образом: все простые в интервале от $\sqrt n$ до n получаются вычеркиванием всех составных чисел простыми от 2 до $\sqrt n$ на этом интервале. Соответственно, зная все простые от 0 до $\sqrt n$, можно получить среднее кол-во вычеркнутых составных чисел на интервале от $\sqrt n$ до n. Отсюда легко находятся невычеркнутые простые.

А как вы получили эту формулу?
Но сначала, давайте вы все-таки напишете вашу формулу более математически корректно, ибо запись $ \frac{(p-1)!}{p!} $
не дает того ряда, что вы приводите (если правильно считать факториал).

[Апис]

А вы учли, что значения (р) только простые числа, получается факториал только из простых чисел.

[e2e4]

Нет такого понятия, как факториал по простым числам.
$x! = \prod\limits_{n=1}^x n$
Поэтому верно записать вашу формулу так, как я ее записал несколько сообщений ранее.
От этого она не становится ни лучше, не хуже, а только математикам будет понятно, о чем речь. Вас же я понял только потому, что узнал ряд чисел, над которыми сам думал.

Мне действительно интересно, как вы пришли к этой формуле. Я на 99% уверен, что мы с вами переоткрыли уже существующие вещи, но все же...

[AndAll]

e2e4 писал(а):

Нет такого понятия, как факториал по простым числам....
...Мне действительно интересно, как вы пришли к этой формуле. Я на 99% уверен, что мы с вами переоткрыли уже существующие вещи, но все же...

Формула Лежандра-Эратосфена:

$\pi \left( n \right) - \pi \left( {\sqrt n } \right) + 1 = n\prod\limits_{2 \leqslant p_i \leqslant \sqrt n } {\left( {1 - \frac{1} {{p_i }}} \right)} + R\left( n \right)$.

Вы её «усекли» на слагаемое $ - \pi \left( {\sqrt n } \right)$ , т.е. число простых, меньших $\sqrt n $ , которые Вы как раз и не считаете. Если Вы правильно запишете свою формулу, то увидите, что она эквивалентна формуле Лежандра. Надеюсь, Вы понимаете, что это нисколько не умаляет Вашу работу.
Несомненно, существует генетическая связь между этой формулой и функцией Эйлера.
Если развернуть произведение в правой части равенства и от каждого слагаемого взять целую часть, то формула становится точной. Это обычно доказывают методом включения-исключения.
«Факториал» по простым числам существует и называется примориал (prime number – простое число) и обозначается, если не ошибаюсь, $p\# $
.

[RIP]

Насколько я понял, имеется в виду следующее:
Пусть $n$ - натуральное, достаточно большое (мне так удобнее). Пусть $q$ - наиб. простое, не превосходящее $\sqrt n$. Утверждается, что на отрезке $[q;n]$ "примерно" $nm_q$ простых, где $m_q=\prod_{p\leqslant q}(1-\frac1p)$. Это неверно.
На этом отрезке асимптотически $\frac n{\ln n}$ простых.
Известно, что $m_q\sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln\sqrt n}$, $\gamma$ - постоянная Эйлера. Поэтому $nm_q\sim2e^{-\gamma}\frac n{\ln n}$.
Даже асимптотически это неверная формула.
Вместо $\sqrt n$ надо рассматривать $n^{\alpha}$, где $\alpha=e^{-\gamma}=0.56...$

[Апис]

Спасибо всем, кто откликнулся на моё предложение оценить красоту формулы. Что бы прекратить скороспелые выводы о правильности формулы, предлагаю всем набраться терпения и подождать пока я введу в сообщение хотя бы первую часть моей работы. С формулами у меня получается очень медленно. И тогда мы продолжим обсуждение.

[RIP]

Если нигде не наврал в вычислениях, то

$$\prod_{p\leqslant x}\left(1-\frac1p\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1+O\left(\frac1{(\ln x)^C}\right)\right),\quad C-\text{любая положительная постоянная}$$

(конечно, можно и более точную оценку написать).
Поэтому в формуле

$$\pi(x)=x\prod_{p\leqslant x^{\alpha}}(1-\frac1p)+R(x)$$

для "остатка" R(x) можно написать асимптотический ряд вида

$$R(x)=\frac x{(\ln x)^2}\left(1+\frac {c_1}{\ln x}+\ldots+\frac {c_n}{(\ln x)^n}+O\left(\frac 1{(\ln x)^{n+1}}\right)\right)$$

Константы $c_j$ легко считаются.

Т.е., грубо говоря, приближение $x\prod_{p\leqslant x^{\alpha}}(1-\frac1p)$ ничуть не лучше, чем обычное $\frac x{\ln x}$

[Апис]

При работе я руководствовался следующими принципами
1.Результат, к которому стремился, пусть и не в полном объёме, должен быть достигнут. Иначе как заметил Джон Литлвуд в своей книге "Разные заметки одного математика": Недавно была опубликована статья, в начале которой имеется фраза -"Целью насоящей статьи является доказательство (чего-то весьма важного)". И только в конце с превеликим трудом выясняется, что цель эта остаётся недостигнутой.
2.Занимательность и доступность
И так, я буду говорить, об определении колличества простых чисел на интервале (р-п)
где р-простые числа, п-натуральные числа.
Зависимость между значениями (р) и (п)

\[p^2 \leqslant n < p_/ ^2 \]

Например: п=168

\[11^2 \leqslant 168 < 13^2 \]

р=11 р.=13
Несколько изменим задачу и искать будем колличество составных чисел. Колличество простых чисел в дальнейшем найдём как разницу колличество составных чисел от общего колличества чисел.
Для удобства введём такое понятие как базисное число и базис
Базисное число - любое натуральное число
Базис от базисного числа - колличество составных чисел, каждое число которого имеет множителем базисное число.
Если (п) колличество чисел в интервале (0-п) тогда:

\[\tfrac{n}{2}\]

-базис от базисного числа 2.

\[\tfrac{n}{3}\]

-базис от базисного числа 3.

\[\tfrac{n}{6}\]

-базис от базисного числа 6.

\[\tfrac{n}{5}\]

-базис от базисного числа 5.

\[\tfrac{n}{{15}}\]

-базис от базисного числа 15. и. т. д.
Для определения колличества простых чисел, от общего колличества (п) отнимаем базис от 2 далее отнимаем базис от 3 и прибавляем базис от 6, что бы скомпенсировать повторы в базисах от 2 и от 3 и. т. д.

\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}....и.т.д.\]

Например:

\[n - \tfrac{n}{2}\]

при п<9 это выражение даёт колличество простых чисел на интервале (2-п)
Еденица входит в колличество простых чисел, так как она не присутствует ни в одном из базисов.

\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6}\]

при 9<n<25 это выражение даёт колличество простых чисел на интервале (3-п). Так как базисные числа 2 и 3 входят в свои базисы, для нас они являются составными.
Двигаемся дальше.
Выражение

\[n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}\]

....... приведём к виду удобному для вычислений.

\[ \begin{gathered} n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6} - \tfrac{1} {5}(n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2} - \tfrac{n} {3} + \tfrac{n} {6})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2}) - \tfrac{1} {3}(n - \tfrac{n} {2})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ (n - \tfrac{n} {2})(1 - \tfrac{1} {3})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ n(1 - \tfrac{1} {2})(1 - \tfrac{1} {3})(1 - \tfrac{1} {5}) = \hfill \\ n(\tfrac{1} {2})(\tfrac{2} {3})(\tfrac{4} {5}) \hfill \\ \end{gathered} \]

....... и. т. д.

\[ m_p = \tfrac{1} {2}\tfrac{2} {3}\tfrac{4} {5}\tfrac{6} {7}.....\tfrac{{p - 1}} {p} \]

\[ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

- рекуррентная формула для определения значения

\[ \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

Исходя из выше изложенного, выводим общую формулу определения колличества простых чисел на интервале (р-п)

\[ p_n = nm_p - 1 \]

\[ p_n \]

- колличество простых чисел на интервале (р-п)
р - простые числа
п - натуральные числа

\[ p^2 \leqslant n < (p_/ )^2 \]

Зависимость между значениями (р) и (п)
Например: п=168.

\[ m_p = \tfrac{{(p - 1)!}} {{p!}} \]

Рекуррентная формула для определения значений

\[\tfrac{{(p - 1)!}}{{p!}}\]

\[ \begin{gathered} m_2 = \tfrac{1} {2} = 0,5 \hfill \\ m_{3 = } \tfrac{1} {2}\tfrac{2} {3} = 0,333 \hfill \\ m_5 = \tfrac{1} {2}\tfrac{2} {3}\tfrac{4} {5} = 0.266 \hfill \\ m_7 = 0,2285714 \hfill \\ m_{11} = 0,20779220778 \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ p_n = nm_p - 1 \]

=168 0,20779-1=33,9
Истинное значение - 34
В полученной формуле есть сходство с числовой функцией Элера, но там если принять мою терминологию, значения (р) получены при факторизации числа (п). А это совершенно другой подход.
На этом пока всё, далее подготовлю погрешность вычисления

\[ p_n \]

.
Новый подход к доказательству гипотезы Гольдбаха.
И самое главное, предположение которое нужно доказать или опровергнуть. Могу побится об заклад, что в ближайшие лет двадцать, это никому не удастся.
Есть ещё один замечательный результат, но о нём позднее. Сергей Ситников.

[e2e4]

RIP, эта формула отлично работает и имеет доказательство.

Вы ее сравнили с формулой асимптотического распределения простых чисел n/ln(n), но именна эта формула, насколько я знаю - бездоказательна. Она уточнялась много раз, возможно, на каких-то участках лучше приближает кол-во простых, но она неинтересна, ибо ничего не говорит о природе простых чисел.

Формула $m_p$(в терминоголии Апис'а) - имеет четкий математический смысл, а именно - она отражает кол-во всех чисел, имеющих младшим множителем одно(или несколько) из простых чисел от $p_1 = 2$ до $p$, по отношению ко всем натуральным числам. Иными словами, $m_3 = \frac{1}{3}$ означает, что если мы возьмем случайное натуральное число, то с вероятностью 1/3 оно будет иметь младшим множителем простое число 2, либо простое число 3, либо оба этих числа.

[RIP]

e2e4 писал(а):

Вы ее сравнили с формулой асимптотического распределения простых чисел n/ln(n), но именно эта формула, насколько я знаю - бездоказательна.

Вы про

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi(x)\ln x}x=1?$$

Эта формула доказана. Более того, доказано, что

$$\pi(x)=li x+O\left(xe^{-c\left(\tfrac{\ln x}{\ln\ln x}\right)^{0.6}}\right),$$

где

$$li x=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}=\frac x{\ln x}\left(1+\frac{1!}{\ln x}+\frac{2!}{(\ln x)^2}+\ldots+\frac{n!}{(\ln x)^n}+O\left(\frac1{(\ln x)^{n+1}}\right)\right),$$

$$c>0-\text{некоторая постоянная}$$

(это наилучший известный мне результат)
Upd. Что значит слово "бездоказательна"?

Я отлично понимаю вероятностный смысл величин $m_p$, но когда $p$ растет с ростом $n$, то этот смысл теряется. Другое дело, что для "небольших" $n$ Ваша формула может давать хороший результат. Проведите вычисления при $n=10^{10}$ и приведите результаты здесь.

Добавлено спустя 25 минут 5 секунд:

Я утверждаю, что в обозначениях Аписа имеет место

$$\lim_{n\to\infty}\frac{nm_p}{P_n}=2e^{-\gamma}=1.12...$$

Добавлено спустя 9 минут 52 секунды:

Здесь $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n-\ln n\right)=0.577...$-постоянная Эйлера-Маскерони.