Косинус больше единицы.

[keksman]

Доброго времени суток, уважаемые господа.
Вопрос я сейчас задам сильно странный :) Но матом прошу не ругаться.

со школы еще помню, как наш преподаватель по мат.анализу в теме комплексные числа доказывал нам, что на множестве комплексных, косинус может быть больше единицы. Для этого, как сейчас помню, он брал какую-то формулу и подставлял в нее значение угла. В результате получалось значение косинуса большее единицы. Может быть кто-нибудь напомнит мне, как бы наиболее наглядно показать это, с применением наименьшего количество формул?

Заранее спасибо!

[Someone]

keksman в сообщении #504700 писал(а):

Может быть кто-нибудь напомнит мне, как бы наиболее наглядно показать это, с применением наименьшего количество формул?

Видимо, речь шла о формуле Эйлера

$$\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2.$$

Подставляете в неё $\varphi=i$ и получаете требуемое.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Известная шутка "В военное время косинус может достигать четырёх" обычно трактуется неправильно - как рассказ о тупости военных. Однако авторы этой шутки - разработчики ракет, и не только владели алгеброй в школьных пределах, но и про комплексный аргумент знали. Есть версия, что возникла эта фраза, когда принимавший изделие артиллерийский генерал, дойдя до агрегата питания, на котором первоначально была рукоятка регулировки "косинуса $\varphi$" (отношения активной мощности к полной), но затем рукояткой стали управлять другим параметром, а шильдик с надписью оставили по небрежности старый, поинтересовался - "А разве косинус 4 бывает?", на что инженер-полковник браво и не оставляя времени на расспросы отрапортовал - "В военное время бывает!"

[Профессор Снэйп]

А вот интересно, какую геометрическую интерпритацию можно дать этим большим косинусам.

Если угол действительный, то всё понятно. Строим прямоугольный треугольник с данным углом и косинус будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. А если угол комплексный, то косинус может оказаться больше $1$ (или ваще не действительным числом). Получается, что гипотенуза короче катета. Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #504814 писал(а):

Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?

По "продвинутому" определению косинус и синус - координаты точки на единичной окружности. Так что рисуем в пространстве $\mathbb{C}^2$ окружность $z^2+w^2=1,$ и гуляем по ней точкой... Кто скажет, что при $z=4,$ $w=i\sqrt{15}$ это у нас не прямоугольный треугольник? :-)

[Mega Sirius12]

Цитата:

А вот интересно, какую геометрическую интерпритацию можно дать этим большим косинусам.

Если угол действительный, то всё понятно. Строим прямоугольный треугольник с данным углом и косинус будет равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. А если угол комплексный, то косинус может оказаться больше $1$ (или ваще не действительным числом). Получается, что гипотенуза короче катета. Как увидеть этот странный прямоугольный треугольник, в какое пространство он вкладывается?

Это псевдоевклидова геометрия, в ней углы и стороны бывают комплексными, и она довольно наглядна

[alcoholist]

Munin в сообщении #504821 писал(а):

Так что рисуем в пространстве $\mathbb{C}^2$ окружность $z^2+w^2=1$

А почему не $z^2+w^2=i$? Окружность-то мнимая:)

[Mega Sirius12]

и че?
это основное тригонометрическое тождество

[svv]

Мне кажется, $z^2+w^2=1$ -- это не мнимая окружность, пусть и в $\mathbb{C}^2$.

[Joker_vD]

Это единичная окружность. Если так можно выразиться, "замыкание единичной окружности из $\mathbb A^2(\mathbb R)$ в $\mathbb A^2(\mathbb C)$".

[alcoholist]

Joker_vD в сообщении #504900 писал(а):

"замыкание единичной окружности из $\mathbb A^2(\mathbb R)$ в $\mathbb A^2(\mathbb C)$"

в какой топологии замыкание? И как вещественная плоскость лежит в комплексном двумерии?-)

[Munin]

alcoholist в сообщении #504830 писал(а):

Окружность-то мнимая:)

Мнимая, как изображение в геометрической оптике? ;-)

Между прочим, гипотенуза по всем правилам получается короче катета, ибо длина катета $\sqrt{w^{*}w}=\sqrt{15}.$

[Mega Sirius12]

и она больше единичной гипотенузы

[Joker_vD]

alcoholist в сообщении #504901 писал(а):

в какой топологии замыкание?

Зарисского? Я же говорю, в кавычках "замыкание". Можете считать, что я сказал "алгебраическое замыкание"

alcoholist в сообщении #504901 писал(а):

И как вещественная плоскость лежит в комплексном двумерии?-)

Э... Ну очень просто: $\mathbb A^2(\mathbb R) = \{ (x,y) \in \mathbb A^2(\mathbb C) \mid x,y \in \mathbb R \}$. Т.е. вещественная плоскость состоит из всех $\mathbb R$-рациональных точек комплексной плоскости.

Munin
Да, с расстояниями там весело...

[Алексей К.]

Я тут картинку нарисовал. На первом фрагменте зелёненькая фиксированнаая прямая, она совпадает с осью ординат. Синяя окружность как бы движется. Обе линии ориентированы. И есть угол $\psi$ пересечения между ними, иногда мнимый, типа $i\delta$, иногда комплексный, вроде $\pi+i\delta$. График цвета фуксии (прямая) — зависимость $\cos\psi(x)$, где $x$ — положение центра движущейся окружности. И этот косинус бывает 4, и даже больше.



А на втором фрагменте я подменил зелёную прямую зелёной окружностью, тоже фиксированной. Ну, график в параболу превратился.

[updated 18.11]
Картину подправил. Для окружности $A\quad\psi=0$ (касание), для $B\quad\psi=\pi$ ("антикасание").