Определить разрывы функций и их характер

[samuil]

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек

1)
$f(x)=\dfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{\cos{\frac{1}{x}}}$

Подозрительная точка -- это $x=0$

Ведь предела $\lim\limits_{x \to 0+0}\cos\frac{1}{x}$ не существует

И предела $\lim\limits_{x \to 0-0}\cos\frac{1}{x}$ не существует

Как быть, как считать?

2)

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}$

$\lim\limits_{x \to 2-0}\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}=\Big(\text{Правило Лопиталя 2 раза}\Big)=0$

Почему-то в ответах написано, что это устранимая точка, но ведь Область определения функции $x\in(-2;2)$

Почему

$\lim\limits_{x \to 2+0}\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}=0$ ? Ведь функция не должна быть определена в этой точке...

[AKM]

samuil в сообщении #504664 писал(а):

1)
$f(x)=\dfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{\cos{\frac{1}{x}}}$

Подозрительная точка -- это $x=0$

Ну уж не знаю... Я охренел от точки $x=\dfrac{2}{117\pi}$. Вы её не щупали?

[samuil]

AKM в сообщении #504666 писал(а):

samuil в сообщении #504664 писал(а):

1)
$f(x)=\dfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{\cos{\frac{1}{x}}}$

Подозрительная точка -- это $x=0$

Ну уж не знаю... Я охренел от точки $x=\dfrac{2}{117\pi}$. Вы её не щупали?

По моему в ней можно воспользоваться тем, что $\cos{\frac{1}{x}}\sim 1-\frac{1}{2x^2}$ и дальше сокращается и будет $1$, но в нуле даже не понятно - в какую сторону думать...

Да, действительно, я пропустил целую серию точек $x=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi n}=\dfrac{2}{\pi+2\pi n}$, $|n|\in N$

[AKM]

samuil в сообщении #504664 писал(а):

1)
$f(x)=\dfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{\cos{\frac{1}{x}}}$
Как быть, как считать?

Вообще-то Вы задачу не сформулировали. Не верю, что

$$\text{

есть точная формулировка задания. А наш форумный телепат, к сожалению, в отпуске.

[samuil]

AKM в сообщении #504680 писал(а):

Вообще-то Вы задачу не сформулировали. Не верю, что

$$\text{

есть точная формулировка задания. А наш форумный телепат, к сожалению, в отпуске.

Исправил первое сообщение в теме!

[Алексей К.]

samuil в сообщении #504676 писал(а):

По моему в ней можно воспользоваться тем, что $\cos{\frac{1}{x}}\sim 1-\frac{1}{2x^2}$

Да? $\cos{\dfrac{1}{0.1}}=\cos10\sim 1-\dfrac{1}{2\cdot(0.1)^2}=1-50=-49\;?$
Да? $\cos{\dfrac{1}{0.01}}=\cos100\sim 1-\dfrac{1}{2\cdot(0.01)^2}=1-5000=-4999\;?$
Да? $\cos{\dfrac{1}{0.00001}}=\ldots$

[samuil]

Да, я сильно погорячился, тут аргумент и близко не стремится к нулю))) Он стремится к бесконечности при $x\to 0$, а косинус бесконечности не определен (хоть и ограничен)...Поэтому -- не знаю, что делать дальше

[Someone]

А в чём проблема-то с первой функцией? Ну, в некоторых точках она не определена. А в тех, где она определена, у неё какие значения?

[samuil]

Где определена $f(x)=1$

[svv]

Но если везде, где $f(x)$ определена, она равна $1$, то чему равен её предел при $x$, стремящемся к точке, где она не определена? Хоть левосторонний, хоть правосторонний, хоть просто предел?

[samuil]

Хочется сказать, что тоже $1$, но если вспомнить дельта-функцию, то там одна точка существенна=)

[svv]

samuil писал(а):

одна точка существенна

Для интеграла.
Да и математики сейчас скажут, что дельта-функция -- не функция.

[Алексей К.]

Не только математики, даже модераторы (выделение моё):

AKM в сообщении #504694 писал(а):

как если бы там какая-то $\delta$-не-функция случилась бы...

[samuil]

Ок, понятно, спасибо! А как быть со второй функцией? Такое же задание "Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек"

-- 17.11.2011, 02:32 --

Алексей К. в сообщении #504721 писал(а):

Не только математики, простые модераторы (выделение моё):

AKM в сообщении #504694 писал(а):

как если бы там какая-то $\delta$-не-функция случилась бы...

(Оффтоп)

Значит меня Википедия обманывает!

http://ru.wikipedia.org/wiki/Дельта_функция

[Someone]

Какое отношение $\delta$-функция имеет к пределу? Вы определение предела (по Коши) знаете?