Астроида

[samuil]

Доказать, что у $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$
длина отрезка касательной, заключенной между осями координат постоянна.
имеется ввиду в каждой точке астроиды?

[ИСН]

Ну да.

[samuil]

ИСН в сообщении #504257 писал(а):

Ну да.

Ок, спасибо! А с чего следует начать доказательство?!
Есть предположение, что можно выразить $y=...$, а затем написать уравнение касательной. Но что дальше?!

[svv]

А если длина отрезка постоянна, то чему она равна? На ответ дается 10 секунд.

[samuil]

Попробую найти уравнение касательной

$y^{2/3}=R^{2/3}-x^{2/3}$

$y={(R^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}$

$y'=\dfrac{3}{2}{(R^{2/3}-x^{2/3})^{1/2}\cdot (-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}})=-\dfrac{\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}}}{\sqrt[3]{x}}$

-- 15.11.2011, 23:01 --

svv в сообщении #504264 писал(а):

А если она постоянна, то чему она равна? На ответ дается 10 секунд.

Константе? оО

-- 15.11.2011, 23:02 --

но ведь наклон будет разный в каждой точке, по моему производная не определена в "угловых точках"

[svv]

Но какой именно? Рассмотрите крайний случай.

[samuil]

но ведь наклон $k$ будет разный в каждой точке.
Поэтому коэффициент $k$ в уравнении касательной $y=kx+b$ будет разный...Это длина отрезка постоянна..Что-то я не понимаю..

(Оффтоп)

по моему производная не определена в "угловых точках".

-- 15.11.2011, 23:06 --

В крайнем случае длина касательной равна $R$ из уравнения астроиды, насколько я понимаю...
Значит, по идее, нужно доказать, что она равна $R$ Для любый двух точек астроиды (принадлежащих конкретной координатной четверти?)

[svv]

Вы можете догадаться, к какому пределу будет стремиться длина отрезка, если страшно брать угловые точки.

Вы можете рассматривать одну ветвь астроиды их четырех, на ней в крайней точке односторонний предел угла наклона точно существует.

-- Вт ноя 15, 2011 21:07:17 --

Правильно, $R$.

[samuil]

Ок, рассмотрим одну координатную четверть, для простоты первую ($x\ge 0,y\ge 0$).
А с чего начать доказательство?

[svv]

Хорошо, первую.
Рассмотрим треугольник: гипотенуза -- отрезок касательной, длиной $R$. Катеты -- $X$ и $Y$ (обозначения понятны?)

Как связаны эти три величины?

[samuil]

svv в сообщении #504273 писал(а):

Хорошо, первую.
Рассмотрим треугольник: гипотенуза -- отрезок касательной, длиной $R$. Катеты -- $X$ и $Y$ (обозначения понятны?)

Как связаны эти три величины?

Нетрудный вопрос

$R^2=X^2+Y^2$

Обозначения понятны, треугольник представил!

[svv]

Значит, Вам "всего лишь" остается показать, что $X$ и $Y$, отсекаемые касательной, удовлетворяют равенству $X^2+Y^2=R^2$.

Ещё немного позанимаемся касательной. Если я сообщу Вам число $k=\frac Y X$, а Вам известно, что $R^2=X^2+Y^2$, Вы сможете найти сами числа $X$ и $Y$?

[samuil]

svv в сообщении #504279 писал(а):

Значит, Вам "всего лишь" остается показать, что $X$ и $Y$, отсекаемые касательной, удовлетворяют равенству $X^2+Y^2=R^2$.

Ещё немного позанимаемся касательной. Если я сообщу Вам число $k=\frac Y X$, а Вам известно, что $R^2=X^2+Y^2$, Вы сможете найти сами числа $X$ и $Y$?

Да, получается

$X=\dfrac{R}{\sqrt{1+k^2}}$

$Y=\dfrac{kR}{\sqrt{1+k^2}}$

-- 15.11.2011, 23:34 --

$X^2+Y^2=\dfrac{R^2+k^2R^2}{1+k^2}=R^2$

Но ведь $X^2+Y^2=R^2$ - это окружность...

Делаю, но не понимаю - что делаю

Только интуиция подсказывает, что ветвь астроиды в первой четверти является "отражением" окружности относительно прямой $y=R-x$

[ИСН]

Попробуйте умножить на длину стороны египетской пирамиды какой-нибудь, вдруг поможет.

[samuil]

А, кажется, понял) Но только не понятно -- почему $k=Y/X$ - постоянное число?!