Логарифмическая спираль

[samuil]

Legioner93 в сообщении #503464 писал(а):

Легко понять, что угол будет $\frac{\pi}{2}$ только в случае $r=const$, т.е. если график представляет собой окружность.
Рисунок нарисован грубовато, отсюда и непонимание.

Да касательная в любой точке почти прямой угол образует. Тем более, у нас угол между касательной и радиус вектором постоянный (зависит только от $b$, собственно, что и хочется доказать)

-- 14.11.2011, 03:32 --

ewert в сообщении #503436 писал(а):

Ну там отношения приращений: сперва маленьких, потом очень маленьких, потом бесконечно маленьких, потом ваще предел...

Все равно не очень понял. Вот аккуратная картинка. Как это получить? Ведь треугольник не прямоугольный, откуда же взять тангенс?!

[Алексей К.]

Вот здесь картинка получше (третья, с углом $\Psi$): угол там показан в двух точках, но нарисовать такую ситуацию можно в любой точке.

samuil в сообщении #503478 писал(а):

Да касательная в любой точке почти прямой угол образует.

Нет. Просто в иллюстрациях берут спирали с углом, близким к прямому. Иначе она так быстро раскручивается в бесконечность (или скручивается), что невозможно показать несколько оборотов.

-- 14 ноя 2011, 07:57:09 --

А здесь я недавно рисовал спираль с углом 45 градусов (она справа, пунктиром, $\color{magenta}ABC$). Крестик в центре. Он закрывает собой всё её бесконечное раскручивание, и как только она раскрутилась в области видимости, она тут же в бесконечность убегает.
Видно Вам, что там $\Psi=45^\circ$? Можете себе ещё парочку оборотов представить?

[samuil]

Ок, спасибо, понятно. Только как найти угол между касательной и радиус-вектором -- не ясно...

[arseniiv]

Знаете угол между двумя векторами? Так вот, один пусть будет радиус-вектор, а другой — любой, коллинеарный касательной, т. е. её направляющий вектор.

[e7e5]

Это хорошо известный вопрос разъяснен в курсе Фихтенгольца. В инете книгу можно найти. http://ru.wikipedia.org/wiki/Фихтенгольц,_Григорий_Михайлович
Вот только забыл в каком томе, первом или втором, в любом случае теория там изложена.

[Алексей К.]

$(x'_t,y'_t)$ --- направляющий вектор касательной.

[samuil]

Ок, спасибо, понятно!!!