Вычислить с точностью

[Руст]

Пусть $a_1=1,a_{n+1}=\frac{n}{a_n}+\frac{a_n}{n}$. Вычислить $a_{10^{10}}$ с погрешностью не более $10^{-10}.$

[venco]

Найти поправку к ассимптотике $a_n=\sqrt n$.

[Руст]

venco в сообщении #503720 писал(а):

Найти поправку к ассимптотике $a_n=\sqrt n$.

Да. Можно вычислить $a_n^2=n+\frac 12 +b_n$. Тогда

$$b_{n+1}=f(b_n)=\frac{\frac{5n^2+4n+1}{4}-b_n(n^3-\frac 12 n^2-n-\frac 12)+b_n^2}{n^2(n+\frac 12+b_n)}.$$

$b_1=-\frac 12,b_2=\frac 32,b_3=\frac 12, b_4=\frac{7}{36}$. Вообще $b_n=\frac{5}{8n}+O(\frac{1}{n^2})$.
Но легко проверяется, что при $n>3$ $\frac{1}{4n-1}<b_n<\frac{1}{n+1}$. Этого достаточно, чтобы показать, что
$0<a_n-\sqrt n(1+\frac{1}{4n})<\frac{1}{2n^{3/2}}, n>3$. Соответственно точность даже в 15 знаках после запятой.

[ИСН]

Задача в духе ProjectEuler. Вы её туда не предлагали? Если нет, то надо бы.

[Руст]

Это усиление одной задачи из Mathlinks. Я больше нигде не предлагал. Можете предложить сами.

[ИСН]

Я там недавно, и ещё не чувствую за собой морального права. Попозже, может быть.