2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить с точностью
Сообщение14.11.2011, 08:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть $a_1=1,a_{n+1}=\frac{n}{a_n}+\frac{a_n}{n}$. Вычислить $a_{10^{10}}$ с погрешностью не более $10^{-10}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью
Сообщение14.11.2011, 19:18 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Найти поправку к ассимптотике $a_n=\sqrt n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью
Сообщение15.11.2011, 11:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
venco в сообщении #503720 писал(а):
Найти поправку к ассимптотике $a_n=\sqrt n$.

Да. Можно вычислить $a_n^2=n+\frac 12 +b_n$. Тогда
$$b_{n+1}=f(b_n)=\frac{\frac{5n^2+4n+1}{4}-b_n(n^3-\frac 12 n^2-n-\frac 12)+b_n^2}{n^2(n+\frac 12+b_n)}.$$
$b_1=-\frac 12,b_2=\frac 32,b_3=\frac 12, b_4=\frac{7}{36}$. Вообще $b_n=\frac{5}{8n}+O(\frac{1}{n^2})$.
Но легко проверяется, что при $n>3$ $\frac{1}{4n-1}<b_n<\frac{1}{n+1}$. Этого достаточно, чтобы показать, что
$0<a_n-\sqrt n(1+\frac{1}{4n})<\frac{1}{2n^{3/2}}, n>3$. Соответственно точность даже в 15 знаках после запятой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью
Сообщение15.11.2011, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Задача в духе ProjectEuler. Вы её туда не предлагали? Если нет, то надо бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью
Сообщение15.11.2011, 19:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это усиление одной задачи из Mathlinks. Я больше нигде не предлагал. Можете предложить сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить с точностью
Сообщение15.11.2011, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я там недавно, и ещё не чувствую за собой морального права. Попозже, может быть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group