Подгруппы в S8.

[Art-Ksenia]

Нашла в $$S_4 $ подгруппы 2, 3, 4, 6 порядков. А вот с 8 и 12 возникли проблемы.
Знаю, что подгрупп 8 порядка - три, а 12 - одна. Помогите, кто знает.

[Sonic86]

Art-Ksenia в сообщении #503628 писал(а):

Знаю, что подгрупп 8 порядка - три, а 12 - одна

Что такое знакопеременная группа $A_n$ знаете? Просто почитайте про нее.
Все группы порядка $8$ имеют вид: $\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2^3$. Можно воспользоваться этим. Ну или начать так: элементы какого порядка могут быть в группе порядка $8$. Какие элементы в $S_4$ имеют такие порядки?
Довольно подробное описание подгрупп $S_4$ есть в Постникове Теория Галуа.

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #503663 писал(а):

Все группы порядка $8$ имеют вид: $\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2^3$. Можно воспользоваться этим.

Куда-то потеряли неабелеву группу 8-го порядка.

[Sonic86]

AV_77 в сообщении #503716 писал(а):

Куда-то потеряли неабелеву группу 8-го порядка.

Да, группа диэдра $D_4$. Правильно?

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #503718 писал(а):

Да, группа диэдра $D_4$. Правильно?

Неправильно. Еще группа кватернионов.

[VAL]

bnovikov в сообщении #503867 писал(а):

Sonic86 в сообщении #503718 писал(а):

Да, группа диэдра $D_4$. Правильно?

Неправильно. Еще группа кватернионов.

Угу. Но в $S_4$ прячутся именно 3 группы диэдра.

To TS: Рассмотрите квадрат, вершины которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и движения плоскости (повороты и симметрии), переводящие этот квадрат в себя. Одна подгруппа сразу найдется.
Чтобы найти еще две, просто измените порядок номеров вершин.

[bnovikov]

Подгруппы в $S_8$ или в $S_4$?

[VAL]

bnovikov в сообщении #504147 писал(а):

Подгруппы в $S_8$ или в $S_4$?

Конечно в $S_4$. В заголовке ошибка.
Это только моя гипотеза. Но предлагать начинающим перечислить все подгруппы $S_8$ - это садизм.

[bnovikov]

VAL в сообщении #504153 писал(а):

Конечно в $S_4$.

Тогда я неправ: группы кватернионов там нет.

[VAL]

bnovikov в сообщении #504161 писал(а):

VAL в сообщении #504153 писал(а):

Конечно в $S_4$.

Тогда я неправ: группы кватернионов там нет.

Конечно!
А разве Вы утверждали обратное?! А я и не заметил
Я понял, что Вы упомянули группу кватернионных единиц исключительно для опровержения утверждения Sonic86 (о том что все 8-элементные группы исчерпываются тремя абелевыми).
То, что в $S_4$ есть всего три восьмиэлементных подгруппы (изоморфных группе диэдра), вроде, очевидно.

[bnovikov]

VAL в сообщении #504169 писал(а):

Конечно!
А разве Вы утверждали обратное?! А я и не заметил

Действительно, забыл. Спасибо.