ТФКП, перевод одной области в другую

[SpBTimes]

Как составить дробно-линейное преобразование $w = \frac{az + b}{cz + d}$, переводящее область:
$\{|z| < 1, \operatorname{Im}(z) > 0\}$ в область $\{\operatorname{Im}(w)> 0\}$
Я так понимаю, что полуокружность можно перевести в четверть плоскости, а потом четверть пл-ти в полуплоскость, да?
Хотелось бы узнать принцип и идеи нахождения таких отображений.

[Хорхе]

Да не сделать это дробно-линейным никак, не парьтесь.

[SpBTimes]

Хорхе
а почему?

[Хорхе]

Потому что из половинки круга дробно-линейным преобразованием получится обязательно область, где граница состоит из двух прямых/окружностей, пересекающихся под прямым углом.

В принципе, дробно-линейные преобразования - это (с точностью до гомотетии) движения сферы, а ее как не вращай, четвертинка четвертинкой и останется.

[SpBTimes]

Хорхе

Хорхе в сообщении #503846 писал(а):

где граница состоит из двух прямых/окружностей, пересекающихся под прямым углом.

То есть всё-таки можно перевести полу-окружность в четверть? Раз можно получить 2 прямые, пересекающиеся под прямым углом.

[Хорхе]

Ну конечно можно.

[SpBTimes]

Хорхе
А как, не подскажите?

[Хорхе]

Ну давайте подумаем. Дробно-линейное преобразование задается тремя точками. Какие точки мы куда переведем?

[SpBTimes]

Вот, подумать - это хорошо, я просто до конца никак не могу ухватить эти преобразования.
Для начала можно перевести границу в границу, нет?
Или воспользоваться как-то свойством симметрии, ведь если окружность переходит в прямую, и прямая в прямую, то точка $-d/c$ лежит и там, и там. Что очень странно

[Хорхе]

Границы в границы, правильно. На коэффициенты пока не смотрите. Вот какие три точки в какие, чтобы обеспечить соответствие границ? (Подсказка: вариантов довольно много.)

[SpBTimes]

Хорхе
Я бы взял точки пересечения границ: $z = 1$, $z = -1$, и что-то на окружности (или на прямой).
Я пока не очень понимаю, как это делается, и не могу рационализировать.

[Хорхе]

Правильно, эти три точки. Что куда переводим?

[SpBTimes]

Хорхе
Ну границы нужно каким-то образом перевести в границы.
А точки пересечения, наверное, тоже перейдут в точки пересечения?
Или нужно просто выбрать, что, скажем, точка $z = -1$ перейдёт в точку $w = -1$,
$z = 1$ в точку $w = 0$ и точка на окржности, скажем $z = i$ в точку $w = i$

[Хорхе]

Вторую и третью правильно, первую неправильно. Точки пересечения надо переводить в точки пересечения. Какая вторая точка пересечения этих двух прямых?

[SpBTimes]

Но у них всего одна точка пересечения. Это же 2 перпендикулярные прямые $u = 0$ и $v = 0$