ТФКП, перевод одной области в другую

[ИСН]

Значит, вторая - там, где рельсы сходятся.

[SpBTimes]

на бесконечности что ли?

[Хорхе]

Ну пусть одна. А куда ж тогда вторую точку пересечения девать-то?

[SpBTimes]

Вот я и думаю, отправить на бесконечность?

[Хорхе]

SpBTimes в сообщении #503919 писал(а):

на бесконечности что ли?

Да!

И какое получится в итоге отображение?

[SpBTimes]

Ну мы отображаем точки:
$w(i) = i$
$w(1) = 0$
$w(-1) = \infty$
Раз так, то в отображении $w = \frac{az + b}{cz + d}$
$\frac{-d}{c} = -1$
Или вы другое от меня хотите услышать? :)

-- Вт ноя 15, 2011 00:01:32 --

И, кстати, получается ещё, что $\frac{-b}{a} = 1$

-- Вт ноя 15, 2011 00:28:37 --

И тогда выходит, что $c = d$ и $b = -a$
А тогда у нас отображение:
$w = \frac{a(z - 1)}{c(z + 1)}$
Но ещё и $w(i) = i$, то есть:
$\frac{-a(i - 1)^2}{2c} = i$
$2ai = 2ci \Rightarrow a = c$
То есть отображение:
$w = \frac{z - 1}{z + 1}$?

[Хорхе]

Да. Это получится левая верхняя (вторая?) четверть.

[SpBTimes]

Хорхе
Ага, спасибо!
А вот, скажем, если мы переводим окружность
$|z| < 1$ в окружность $|w| < 1$
Нам тоже выбрать 3 какие-либо точки, лежащие на окружности?

[ИСН]

Зачем её в неё переводить, когда она - это уже она и есть?

[Хорхе]

ИСН в сообщении #504017 писал(а):

Зачем её в неё переводить, когда она - это уже она и есть?

Например, хочется описать все аналитические автоморфизмы диска.

А вообще да, три точки в три точки.

[SpBTimes]

Хорхе
то есть общая идея такая, что всегда выбираются 3 точки для перевода. Разве что их нужно выбирать хитрым образом, да?
Либо просто использовать известную ф-лу общего вида дробно-линейного преобразования.
Так?

[Хорхе]

С дробно-линейными общая идея такая, да. В выборе точек надо учитывать, что : 1) окружности переходят в окружности или прямые (если послать одну из точек на бесконечность); 2) углы сохраняются. Настоящие (горные) джедаи вместо плоскости представляют сферу и просто вращают ее.