Форма симметричная сразу от трёх и четырёх переменных.

[ishhan]

Рассмотрим симметрическую форму записанную от трёх переменных:

$$V^2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+xz+zy=\frac{x^2+y^2+z^2+(-x-y-z)^2}{2}$$

обозначим новую переменную $s$ и свяжем её с базовыми $x,y,z$ переменными соотношением $x+y+z+s=0$.
После подстановки новой переменой алгебраическая запись $V^2(x,y,z) $может выглядеть как:

$$V^2(x,y,z)=V^2(x,y,z,s)=\frac{x^2+y^2+z^2+s^2}{2}$$

что соответствует алгебраическому виду симметрической формы от четырёх переменных $x,y,z,s$.
Если в этой форме произвести все возможные замены переменных в соответствии с соотношением $x+y+z+s=0$ то получим:

$$V^2(s,y,z)=s^2+y^2+z^2+sy+sz+zy$$

$$V^2(x,s,z)=x^2+s^2+z^2+xs+xz+zs$$

$$V^2(x,y,s)=x^2+y^2+s^2+xs+xy+ys$$

В итоге имеем соотношения симметрии для формы$ V^2(x,y,z,s)$:

$$V^2(x,y,z,s)=V^2(x,y,z)=V^2(s,y,z)=V^2(x,s,z)=V^2(x,y,s)$$

$$ x+y+z+s=0$$

Предложение1.
Число, записанное при помощи симметрической формы от четырёх переменных ${x^2+y^2+z^2+s^2}$, в которой переменные $x,y,z,s$ связаны соотношением $x+y+z+s=0$ всегда имеет взаимно простой множитель $q$ с каждым из переменных $x,y,z,s$ (тривиальный случай когда два произвольные числа одновременно равны нулю, например $x=y=0$, исключаем из рассмотрения)
Переменные определены на множестве целых с нулём положительных отрицательных чисел, причём значения трёх из них попарно просты.

$$x^2+y^2+z^2+s^2\equiv0modq$$

$$xyzs\not\equiv0modq$$

Если проверять численно, то выполняется всегда.
Можно ли доказать используя только то, что показатель степени чётный, а форма симметрическая от четырёх переменных?
Хотелось бы услышать Ваши коментарии.

[Sonic86]

Вы хотите доказать, что

$$(\forall n \in \mathbb{N})(\exists x,y,z,s \in \mathbb{Z})x+y+z+s=0, n=x^2+y^2+z^2+s^2, \text{НОД}(n,x)=\dots=\text{НОД}(n,s)=1$$

?

[ishhan]

Sonic86 в сообщении #503658 писал(а):

Вы хотите доказать, что

$$(\forall n \in \mathbb{N})(\exists x,y,z,s \in \mathbb{Z})x+y+z+s=0, n=x^2+y^2+z^2+s^2, \text{НОД}(n,x)=\dots=\text{НОД}(n,s)=1$$

?

Я имел в виду то, что $n=p^r_1\cdot{...p^r_k}\cdot{q}$
А произведение всех переменных, которое включает каноническое разложение каждого из переменных $x\cdot{y}\cdot{z}\cdot{s}=p^m_1\cdot{...p^t_l}$ не содержит множителя $q$
То есть численное значение формы всегда содержит делитель $q$ который не входит в разложение ни одного из переменных $x,y,z,s$ причём три базовых переменных $x,y,z$попарно простые.

[Sonic86]

Не, непонятно. У Вас квантор по переменным $x,y,z,s$ какой: "существуют" или "для любых"?
Вот например: $108=3^2+3^2+3^2+9^2$. Если взять $q=3$, то неверно. Делитель $q$ произвольный или некоторый?

-- Пн ноя 14, 2011 15:40:10 --

А, понял!

$$(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x,y,z,s \in \mathbb{N})(x+y+z+s=0, n=x^2+y^2+z^2+s^2 \Rightarrow (\exists q)q|n,\text{НОД}(x,q)=...=\text{НОД}(s,q)=1)$$

Так?

[ishhan]

Sonic86 в сообщении #503677 писал(а):

Не, непонятно. У Вас квантор по переменным $x,y,z,s$ какой: "существуют" или "для любых"?
Вот например: $108=3^2+3^2+3^2+9^2$. Если взять $q=3$, то неверно. Делитель $q$ произвольный или некоторый?

-- Пн ноя 14, 2011 15:40:10 --

А, понял!

$$(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x,y,z,s \in \mathbb{N})(x+y+z+s=0, n=x^2+y^2+z^2+s^2 \Rightarrow (\exists q)q|n,\text{НОД}(x,q)=...=\text{НОД}(s,q)=1)$$

Так?

Да именно так.
И три любых из четырёх чисел попарно простые, хотя может быть это не особо важно.

[ishhan]

Приведу несколько числовых значений формы$V^2(x,y,z,s)$
$V^2(1,-1,0,0)=1$,
$V^2(1,-1,1,-1)=2$ ,
$V^2(1,1,-2,0)=3$,
$V^2(1,2,-2-1)=5$
$V^2(1,2,-3-0)=7$,
$V^2(1,2,-4,1)=11$,
$V^2(1,3,-4,0)=13$.
Если взять простые числа в качестве четырёх аргументов
$V^2(1,3,7,-11)=2\cdot3\cdot3\cdot5$
$V^2(1,5,7,-13)=2\cdot61$
$V^2(1,5,13,-19)=2\cdot139$
Значение формы всегда содержит делитель взаимно простой с каждым из переменных.

[Sonic86]

Условие $\text{НОД}(x,y,z,s)=1$ необходимо, иначе задача тривиальна - домножаем $x,y,z,s$ на квадраты отсутствующих делителей.
Но даже если так, то

$$126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = (-4)^2+5^2+6^2+(-7)^2$$

[ishhan]

Sonic86 в сообщении #503782 писал(а):

Условие $\text{НОД}(x,y,z,s)=1$ необходимо, иначе задача тривиальна - домножаем $x,y,z,s$ на квадраты отсутствующих делителей.
Но даже если так, то

$$126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = (-4)^2+5^2+6^2+(-7)^2$$

Спасибо за пример.
Видимо что то мной пропущено в формулировке предложения1 и поэтому требование попарной простоты пока ещё необходимо для всех четырёх чисел.
Но если его ввести , то тогда в такой четверке не должно быть чётных чисел,
ведь сумма четырёх чисел$x,y,z,s$ по условию $x+y+z+s=0$.
А Ваш пример -5,-6,4,7 содержит четные числа.

[ishhan]

И ещё,прошу прощение за существенные неточности.
В предложении1 нужно рассматривать форму содержанием единица.
Если существенно подправить, то тогда так:
Каноническое разложение $\frac{x^2+y^2+z^2+s^2}{2}=x^2+y^2+z^2+zx+zx+xy$ -не может содержать только те делители, которые входят в состав одного любого из четырёх переменных $x,y,z,s$,
тогда в Вашем контрпримере значение формы станет не чётным числом $n=63$
разложение на множители$n=3^2\cdot7$
Разложение переменных:
$x=5$
$y=2\cdot3$
$z=2\cdot2$
$s=7$
В данном случае сравниваем значение формы с теми переменными, которые содержат общий множитель с значением формы $n=63$.
Это$s=7$ и $y=2\cdot3$,
так как значение формы $n=63$
в первом случае имеет дополнительный множитель 9 (и соответственно простой делитель 3),
а во втором случае,
когда $n=63$ сравниваем с $y=2\cdot3$ этим простым делителем является 7.

[ishhan]

Утверждение относительно свойства симметрической формы

$$x^2+y^2+z^2+s^2$$

иметь взаимно простой делитель с каждым своим переменным относится к любым, в том числе не взаимно простым числам, $x,y,z,s$ и именно в этом его смысл лишь бы выполнялось:

$$x+y+z+s=0$$

условие того, что каждая из четырёх переменных в этой квадратичной форме является обратной суммой остальных

$$x=-y-z-s$$

$$y=-x-z-s$$

$$z=-x-y-s$$

$$s=-x-y-z$$

Возвращаясь к записи Sonic 86, нужно ввести четыре целых числа

$$p,q,r,t$$

каждое из которых является делителем формы, но не является делителем соответствующего переменного
$$$(\forall n \in \mathbb{N})(\forall x,y,z,s \in \mathbb{N})(x+y+z+s=0, n=x^2+y^2+z^2+s^2 \Rightarrow (\exists q,p,r,t)q,p,r,t|n,\text{НОД}(x,q)=...=\text{НОД}(s,t)=1)$$ $
Пример Sonic 86 с четвёркой чисел $x,y,z,s=4,-5,-6,7$ разобранный ранее хорошо иллюстрирует этот факт, так как значение формы $n=126=4^2+5^2+6^2+7^2=2\cdot3\cdot3\cdot7$ имеет взаимно простой делитель с каждым переменным $4,5,6,7$

(Оффтоп)

Произведение переменных было упомянуто мной по запарке...