Многомерные расширения ТФКП

[g______d]

hamilton в сообщении #503432 писал(а):

Вы не знакомы с исторической ситуацией, считаете ее можно не изучать. Я так не думаю. Проблема построения теории функций октонионной переменной считалась в принципе неразрешимой около 150 лет.

Почему Вы думаете, что приблизились к ее решению? И что Вы понимаете под теорией функций? На мой непросвещенный и невежественный взгляд, одна из основных основная проблем там в том, что функции нельзя перемножать. Многие из оставшихся проблем решает теория гармонических функций.

hamilton в сообщении #503432 писал(а):

Я же впервые показываю КОНСТРУКТИВНЫЙ путь развития, который включает в качестве ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ элементарные функции. А Вы типовые примеры приняли за основные результаты статьи...

Так сам путь в чем состоит? Определять их как преобразования Лапласа?

hamilton в сообщении #503432 писал(а):

Да, также отдельные участники о Шубине оказались настолько схожи во мнениях, что в пылу полемики я их воспринимал как одно лицо теоретика, весьма далекого от инженерных задач...

Спасибо за комплимент.

-- 14.11.2011, 01:56 --

hamilton в сообщении #503432 писал(а):

Вы даже как теоретик не способны отличить аналог от обобщения... Шубин Вам этого не объяснил? Ну и дела... Несомненно, достойный ответ.

Вас слово "зоопарк" обидело? В нем не было оскорбительного смысла, если что.

-- 14.11.2011, 02:11 --

hamilton в сообщении #503432 писал(а):

Зря я недавно в институте Стеклова доклад делал и профессора удивлялись. Надо было Ваше мнение сначала спросить. Вы бы меня на корню срубили...

То, что все римановы метрики давно известны, я уже читал.
Эллиптические уравнения Лапласа-Бельтрами естественно, давно изучены - какие вопросы ?
Ну что там еще - обобщение конформных отображений? Что тут неясного, само собой - в корзину их.

Не кипятитесь.

Еще раз: преобразование Лапласа можно ввести в достаточно общей ситуации. Как минимум, в любой банаховой алгебре с единицей (имеется в виду, преобразование Лапласа вещественной функции, которое дает функцию из алгебры в алгебру). Октонионы такой не являются, но достаточно, чтобы была экспонента. Вы думаете, никто раньше про это не думал? Или я заблуждаюсь (это вполне возможно) ?

-- 14.11.2011, 02:16 --

И давайте оставим Шубина в покое! Я с ним лично не знаком (хотя пару раз видел). Да, мне нравятся его книги. Я имел неосторожность порекомендовать Вам его учебник, но совершенно не ожидал такой реакции.

[hamilton]

g______d в сообщении #503440 писал(а):

Так сам путь в чем состоит

Новое обобщение системы Коши-Римана. Я уже писал не один раз - неужели неясно? Фундаментальных именных уравнений и систем не так уж много в науке, чтобы этого принципиально не замечать. Вы это специально делаете или нарочно ?

hamilton в сообщении #503455 писал(а):

Я имел неосторожность порекомендовать Вам его учебник, но совершенно не ожидал такой реакции

реакция понятна - защитить соавтора, тем более участница даже обсуждала с ним эту книгу. Если человек - специалист по диф.ур-ам, он может не быть специалистом в теории функций, и наоброт. Что мы и видим, это касается и меня.

[g______d]

hamilton в сообщении #503455 писал(а):

Новое обобщение системы Коши-Римана. Я уже писал не один раз - неужели неясно? Фундаментальных именных уравнений и систем не так уж много в науке, чтобы этого принципиально не замечать. Вы это специально делаете или нарочно ?

Чем хорошо именно это обобщение? Почему я не могу написать практически произвольную систему уравнений, которая в 2d превращается в систему Коши-Римана, и назвать ее так же?

-- 14.11.2011, 02:23 --

hamilton в сообщении #503455 писал(а):

реакция понятна - защитить соавтора, тем более участница даже обсуждала с ним эту книгу. Если человек - специалист по диф.ур-ам, он может не быть специалистом в теории функций. Что мы и видим.

Я имел в виду Вашу реакцию.

-- 14.11.2011, 02:26 --

hamilton в сообщении #503455 писал(а):

Если человек - специалист по диф.ур-ам, он может не быть специалистом в теории функций, и наоброт.

А еще бывает ни то, ни то.

[hamilton]

g______d в сообщении #503457 писал(а):

Чем хорошо именно это обобщение? Почему я не могу написать практически произвольную систему уравнений, которая в 2d превращается в систему Коши-Римана, и назвать ее так же?

Вы снова не знаете истории вопроса. В Клиффордовом анализе нет функций кватернионной переменной, обобщающих классические функции комплексной переменной. До Леутвилера считалось, что системы первого порядка такого типа в принципе не существует. А он ее нашел.
Когда Ньютон написал закон всемирного тяготения, это стало элементарным и очевидным. Но до него почему-то никто этого не сделал.
Я не утверждаю, что Леутвилер - это Ньютон... Но я не верю, что Вы, работая в науке много лет, не понимаете этих азов.
Спокойной ночи.

[g______d]

hamilton в сообщении #503461 писал(а):

Вы снова не знаете истории вопроса. В Клиффордовом анализе нет функций кватернионной переменной, обобщающих классические функции комплексной переменной. До Леутвилера считалось, что системы первого порядка такого типа в принципе не существует. А он ее нашел.

В каком смысле обобщающих?

[hamilton]

g______d в сообщении #503463 писал(а):

В каком смысле обобщающих?

не стройте из себя школьника. Успехов.

[g______d]

Должен признать, что данная дискуссия подвигла меня взглянуть на работы Leutwiler'а. Они довольно содержательны. Если Вы действительно в них разобрались, то это уже достижение, которым можно гордиться.

Тем не менее, ряд Ваших фраз вполне мог бы дискредитировать его работы в моих глазах. Хорошо, что так не произошло.

[hamilton]

g______d в сообщении #503474 писал(а):

Должен признать, что данная дискуссия подвигла меня взглянуть на работы Leutwiler'а. Они довольно содержательны. Если Вы действительно в них разобрались, то это уже достижение, которым можно гордиться.

После первой моей встречи с Леутвилером на конференции в Праге в 2000 году прошло 11 лет.
В 2000 году он несколько обиделся на меня, поскольку я быстро нашел достаточно серьезную ошибку в его докладе.

В 2003 году я опубликовал новое обобщение системы Коши-Римана для функций октонионной переменной.
Сам Леутвилер и его ученики функциями октонионной переменной почему-то не занимались совсем.
Они сделали упор на клиффордовы алгебры общего вида.

С 1998 года Леутвилер искал обобщение своей теории и считал наиболее сильной французскую школу
G. Laville and I. Ramadanoff Holomorphic cliffordian functions. Adv. Appl. Clifford Algebras 8 (1998), no. 2, 323–340
G. Laville and L. Randriamihamison Logarithmic derivative of the Euler Gamma-function in Clifford analysis. Rev. Mat. Iberoamericana 21 (2005), no. 3, 695–728
G. Laville, I. Ramadanoff Monogenic, hypermonogenic and holomorphic Cliffordian functions - a survey (2008)
и многие другие статьи.
В частности, в 2004 Леутвилер делал доклад в Финляндии
H. Leutwiler Generalized function theory. Tampere University (2004)
A natural extension of classical complex analysis is the so-called quaternionic analysis.
Based on hyperbolic geometry, a modification of this theory - which might equally well serve as a generalization of classical function theory - will be discussed.
A unifying theory of quaternionic analysis and its modification, recently introduced by G. Laville and his co-workers, are outlined.

В этом году мной были сделаны доклады в июле в Ваймаре, Германия
The 9th International Conference on Clifford Algebras and their Applications (ICCA9),
затем в сентябре 2011 - в Халкидики, Греция
8th Symposium Clifford Analysis and Applications at the ICNAAM 2011.

Ошибаться могут все, и я - не исключение.
Профессор Леутвилер потерял более 11 лет своей жизни, попытавшись реализовать идеи французской школы...
В октябре 2011 года он написал мне, что счастлив видеть путь, по которому я иду, развивая его идеи.
Для меня его оценка в области теории функций важнее мнений всех остальных математиков в мире.

[g______d]

hamilton,

Все-таки, Вы должны понимать, что под словосочетанием "теория функций" обычно понимается достаточно широкий круг вопросов. И разные люди понимают его по-разному.

Можете ли Вы сформулировать, какие именно свойства аналитических функций могут обобщаться на кватернионы и октонионы? Что именно Вы понимали под словами "математики были уверены, что обобщение нельзя построить" ?

Часть вопросов я уже задавал, но Вы их проигнорировали. Именно, будут ли произведение и композиция функций данного класса снова функцией данного класса? Если нет, то каких свойств разумно требовать? И если ничего этого не будет, то насколько, все-таки, правомерно рассматривать эту теорию наравне с ТФКП?

Я понимаю, что на эти вопросы можно ответить, прочитав статьи Леутвилера. Я на них обязательно позже посмотрю более внимательно. Но, поскольку Вы в них разбирались, Ваш ответ может сэкономить много времени.

[hamilton]

g______d в сообщении #503723 писал(а):

Что именно Вы понимали под словами "математики были уверены, что обобщение нельзя построить" ?

В 1985 году Борис Владимирович Шабат на мехмате МГУ говорил мне,
что многие замечательные математики пытались обобщить теорию функций комплексной переменной для кватернионов и это никому не удавалось.
Шабат советовал даже не пробовать развивать тему функций кватернионной переменной.
Он был уверен, что здесь проблема - уровня знаменитого парадокса Кантора.

g______d в сообщении #503723 писал(а):

какие именно свойства аналитических функций могут обобщаться на кватернионы и октонионы?

О существенно новых свойствах, которыми не хватило сил понять профессору Леутвилеру и его ученикам, я рассказывал в двух докладах этого года. В первую очередь важно понять свойства отображений, соответствующих обобщениям аналитических функций. Леутвилер этот вопрос оставил практически без внимания.
Что правильно понимать под обобщением конформных отображений в смысле теории функций? Это ключевой вопрос...
Для функций кватернионной переменной невозможно использование понятия моногенности, которое равносильно существованию производной в тфкп.
Функции кватернионной переменной не могут быть моногенными. Это свойство является следствием теоремы Лиувилля, но об этот пункт до сих пор многие разбивают себе лбы...

[g______d]

Ок, ответ на этот вопрос понял, а остальные вопросы?

-- 14.11.2011, 21:14 --

hamilton в сообщении #503738 писал(а):

Для функций кватернионной переменной невозможно использование понятия моногенности, которое равносильно существованию производной в тфкп.
Функции кватернионной переменной не могут быть моногенными. Это свойство является следствием теоремы Лиувилля, но об этот пункт до сих пор многие разбивают себе лбы...

Можно пояснить?

Кстати, это Вы редактируете сообщения, или пишете новые, а они прикрепляются к старым? Последнее вряд ли, т. к. по идее не должны прикрепляться, если между ними есть сообщение другого человека.

[hamilton]

hamilton в сообщении #503738 писал(а):

Функции кватернионной переменной не могут быть моногенными.

А что есть классического у функций кватернионной и октонионной переменной, что может обобщить привычное понятие производной в тфкп ?
Классическим обобщением служит матрица Якоби...
Именно свойства матриц Якоби для функций кватернионной и октонионной переменной следует изучать в новой теории.

[g______d]

hamilton в сообщении #503756 писал(а):

А что есть классического у функций кватернионной и октонионной переменной, что может обобщить привычное понятие производной в тфкп ?

Я просто-напросто не понял, что такое моногенность. И меня пока не то что бы очень волнует производная, мне бы с произведением и композицией разобраться.

[hamilton]

g______d в сообщении #503758 писал(а):

Я просто-напросто не понял, что такое моногенность. И меня пока не то что бы очень волнует производная, мне бы с произведением и композицией разобраться.

Моногенность означает, что вместо нескольких производных по направлению можно иметь дело только с одним значением производной. С этого понятия начинается тфкп.

[g______d]

hamilton в сообщении #503763 писал(а):

Моногенность означает, что вместо нескольких производных по направлению можно иметь дело только с одним значением производной. С этого понятия начинается тфкп.

Хорошо. Там действительно было несколько эквивалентных свойств, и одно из них называлось моногенностью.