2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 16:59 


19/01/11
718
Решите уравнению:
$x^{x^a}=a$
, $a>0$

(Попытка)

Можно ли выбрать такую функцию: если $f(a)=x^a$, то $f(f(a))=a$ (функция зависит от 'a' :roll: )...
Имеем теорему:
Если $f(f(f...f(x)))...))=x$ ,
то это уравнения равносильно уравнению $f(x)=x$. (Доказать могу.. :mrgreen: )
Отсюда наше уравнение равносильно
$x^a=a$ ,
$x=a^{\frac1a}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
myra_panama в сообщении #503632 писал(а):
Если $f(f(f...f(x)...))=x$ ,
то это уравнения равносильно уравнению $f(x)=x$. (Доказать могу.. :mrgreen: )

??? Возьмём $f(x) = -x$.

Может, в этой "теореме" надо какие-то ограничения на $f$ накладывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:16 


19/01/11
718
Профессор Снэйп в сообщении #503638 писал(а):
Возьмём $f(x) = -x$.

Может, в этой "теореме" надо какие-то ограничения на $f$ накладывать?

Да , ошибся , честно не помню теорему...
Теорема.Корни уравнения $f(x)=x$, являются корнями уравнение $f(f(f...f(x)...)))=x$ (n-раз).
Так?

-- Пн ноя 14, 2011 17:18:52 --

Теорема 2. Если функция $y=f(x)$ возрастает для любого x, то уравнение $f(f(f(...f(x))...)))=x$ и $f(x)=x$ равносильны

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну, допустим, так.

Только слово "теорема" в данном случае наводит на мысль об умственной неполноценности её доказывальщика. Слишком уж это простое утверждение для того, чтобы теоремой называться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Теорема 1 верна, но только в только в одну сторону, так что равносильности тут нет.
Например $\[
f\left( a \right) = b,f\left( b \right) = a \Rightarrow f\left( {f\left( a \right)} \right) = a
\]
$, но $a$ вполне может быть не равно $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:21 


19/01/11
718
Профессор Снэйп в сообщении #503641 писал(а):
Ну, допустим, так.

Только слово "теорема" в данном случае наводит на мысль об умственной неполноценности её доказывальщика. Слишком уж это простое утверждение для того, чтобы теоремой называться.


Ну не знаю, во многих учебниках я видел что этих утверждениях называли 'ТЕОРЕМУ' :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вторая "теорема" вроде как верна. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:22 


19/01/11
718
Утундрий в сообщении #503642 писал(а):
Теорема 1 верна, но только в только в одну сторону, так что равносильности тут нет.

Где в теорему 1 сказано, что уравнение равносильны....?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:25 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
myra_panama в сообщении #503643 писал(а):
Ну не знаю, во многих учебниках я видел что этих утверждениях называли 'ТЕОРЕМУ' :)

Это что за учебники такие? Сельскохозяйственные, для крупного рогатого скота?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
myra_panama в сообщении #503640 писал(а):
возрастает для любого

Даже если просто "строго монотонна".

P.S. Хотя решение через построение графика в Ехеле было бы... эээ... ну, более соответствующим задаче, что ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 17:33 


19/01/11
718
Профессор Снэйп в сообщении #503647 писал(а):
Это что за учебники такие? Сельскохозяйственные, для крупного рогатого скота?

есть задачник, ее автор "Валерия Павловича Супруна" там все об этих 'утверждениях'(теоремах) написано...
Но пусть будет по 'вашему', как называть эти утверждении...? просто 'express' или 'aksiom' ... :lol1:

-- Пн ноя 14, 2011 17:37:49 --

Утундрий в сообщении #503649 писал(а):
Даже если просто "строго монотонна".

Ну для возрастающих функциях да... но для убывающих , только для нечетных n .... по моему

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение f(f(a))=a
Сообщение14.11.2011, 18:43 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #503638 писал(а):
??? Возьмём $f(x) = -x$.
Ура! Профессор Снэйп вернулся!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group