Уравнение f(f(a))=a

[myra_panama]

Решите уравнению:
$x^{x^a}=a$
, $a>0$

(Попытка)

Можно ли выбрать такую функцию: если $f(a)=x^a$, то $f(f(a))=a$ (функция зависит от 'a' )...
Имеем теорему:
Если $f(f(f...f(x)))...))=x$ ,
то это уравнения равносильно уравнению $f(x)=x$. (Доказать могу.. )
Отсюда наше уравнение равносильно
$x^a=a$ ,
$x=a^{\frac1a}$

[Профессор Снэйп]

myra_panama в сообщении #503632 писал(а):

Если $f(f(f...f(x)...))=x$ ,
то это уравнения равносильно уравнению $f(x)=x$. (Доказать могу.. )

??? Возьмём $f(x) = -x$.

Может, в этой "теореме" надо какие-то ограничения на $f$ накладывать?

[myra_panama]

Профессор Снэйп в сообщении #503638 писал(а):

Возьмём $f(x) = -x$.

Может, в этой "теореме" надо какие-то ограничения на $f$ накладывать?

Да , ошибся , честно не помню теорему...
Теорема.Корни уравнения $f(x)=x$, являются корнями уравнение $f(f(f...f(x)...)))=x$ (n-раз).
Так?

-- Пн ноя 14, 2011 17:18:52 --

Теорема 2. Если функция $y=f(x)$ возрастает для любого x, то уравнение $f(f(f(...f(x))...)))=x$ и $f(x)=x$ равносильны

[Профессор Снэйп]

Ну, допустим, так.

Только слово "теорема" в данном случае наводит на мысль об умственной неполноценности её доказывальщика. Слишком уж это простое утверждение для того, чтобы теоремой называться.

[Утундрий]

Теорема 1 верна, но только в только в одну сторону, так что равносильности тут нет.
Например $\[ f\left( a \right) = b,f\left( b \right) = a \Rightarrow f\left( {f\left( a \right)} \right) = a \] $, но $a$ вполне может быть не равно $b$.

[myra_panama]

Профессор Снэйп в сообщении #503641 писал(а):

Ну, допустим, так.

Только слово "теорема" в данном случае наводит на мысль об умственной неполноценности её доказывальщика. Слишком уж это простое утверждение для того, чтобы теоремой называться.

Ну не знаю, во многих учебниках я видел что этих утверждениях называли 'ТЕОРЕМУ'

[Профессор Снэйп]

Вторая "теорема" вроде как верна.

[myra_panama]

Утундрий в сообщении #503642 писал(а):

Теорема 1 верна, но только в только в одну сторону, так что равносильности тут нет.

Где в теорему 1 сказано, что уравнение равносильны....?

[Профессор Снэйп]

myra_panama в сообщении #503643 писал(а):

Ну не знаю, во многих учебниках я видел что этих утверждениях называли 'ТЕОРЕМУ' :)

Это что за учебники такие? Сельскохозяйственные, для крупного рогатого скота?

[Утундрий]

myra_panama в сообщении #503640 писал(а):

возрастает для любого

Даже если просто "строго монотонна".

P.S. Хотя решение через построение графика в Ехеле было бы... эээ... ну, более соответствующим задаче, что ли.

[myra_panama]

Профессор Снэйп в сообщении #503647 писал(а):

Это что за учебники такие? Сельскохозяйственные, для крупного рогатого скота?

есть задачник, ее автор "Валерия Павловича Супруна" там все об этих 'утверждениях'(теоремах) написано...
Но пусть будет по 'вашему', как называть эти утверждении...? просто 'express' или 'aksiom' ...

-- Пн ноя 14, 2011 17:37:49 --

Утундрий в сообщении #503649 писал(а):

Даже если просто "строго монотонна".

Ну для возрастающих функциях да... но для убывающих , только для нечетных n .... по моему

[Maslov]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #503638 писал(а):

??? Возьмём $f(x) = -x$.

Ура! Профессор Снэйп вернулся!