Векторные уравнения прямой и плоскости

[Dosaev]

Даны прямая $\vec r = \vec r_0 + \vec a t$ и плоскость $(\vec r, \vec n) = D$. При каком необходимом и достаточном условии:
1) они пересекаются;
2) они параллелны
3) прямая лежит в плоскости.

Вот мои мысли насчет первого: проведем вектор $\vec r'$ в точку пересечения. Тогда для этого вектора величина t определена однозначно. И $(\vec r_0 + \vec a t,\vec n) = D => (\vec r_0, \vec n) + t(\vec a,\vec n) = D.$ Из этого уравнения заключаем, что $(\vec a,\vec n) \not= 0,$ так как в противном случае подходят любые t. Таким образом прямая и плоскость пересекаются, когда $(\vec a,\vec n) \not= 0$.
ОК?

[svv]

Идея Ваша совершенно правильная: уравнение $(\vec a,\vec n) t = D-(\vec r_0, \vec n)$ имеет единственное решение относительно $t$ тогда и только тогда, когда $(\vec a,\vec n)\neq 0$.

Но если $(\vec a,\vec n)= 0$, то могут быть два случая.
1) Правая часть равна нулю, тогда уравнение имеет бесчисленное множество решений (прямая лежит в плоскости, т.е. они все-таки пересекаются).
2) Правая часть не равна нулю, тогда уравнение вообще не имеет решений (прямая параллельна плоскости, и не лежит в ней, т.е. они не пересекаются).

[ewert]

Dosaev в сообщении #503205 писал(а):

ОК?

ОК, только логика нерациональна. Надо выписать критерий для объединения второго и третьего случаев (а потом вычленить из него критерий для третьего), и тогда критерий для первого сам упадёт в руки.

[Dosaev]

А как можно доказать обратное? Ведь спрашивается необходимое и достаточное

-- Вс ноя 13, 2011 16:11:32 --

ewert в сообщении #503212 писал(а):

ОК, только логика нерациональна. Надо выписать критерий для объединения второго и третьего случаев (а потом вычленить из него критерий для третьего), и тогда критерий для первого сам упадёт в руки.

Точно! Надо записать уравнение в общем виде, и потом рассматривать соответствующие случаи. Что и сделал svv.

[ewert]

Да не нужно уравнений. Нужно лишь уточнить терминологию: считается ли третий случай частным случаем второго или нет. Естественнее полагать, что считается, из этого и будем исходить.

Тогда параллельность прямой к плоскости -- это альтернатива тому, что они пересекаются; и поскольку критерием параллельности является, очевидно, $(\vec a,\vec n)=0$ -- критерием пересечения будет, соответственно, $(\vec a,\vec n)\neq0$. Если же прямая параллельна плоскости, то лежит она в плоскости тогда и только тогда, когда там лежит хотя бы одна точка прямой, неважно какая, ну вот хотя бы и $\vec r_0$. Т.е. тогда и только тогда, когда $(\vec r_0,\vec n)=D$.

[Dosaev]

ewert в сообщении #503225 писал(а):

...и поскольку критерием параллельности является, очевидно, $(\vec a,\vec n)=0$

откуда?

[ewert]

Dosaev в сообщении #503231 писал(а):

откуда?

Оттуда -- в смысле это следует считать очевидным. Не всё же время заниматься ловлей блох.

Например, так. Параллельность прямой и плоскости равносильна параллельности плоскости направляющего вектора. Или, что то же: если представить направляющий вектор как связанный вектор, один конец которого лежит в плоскости, то параллельность плоскости равносильна тому, что другой конец этого вектора тоже лежит в плоскости. Однако последнее требование в точности эквивалентно тому, что этот связанный вектор ортогонален вектору нормали -- к этому требованию, собственно, и сводится уравнение плоскости. Т.е. на момент постановки Вашей задачки всё это должно быть уже давно пройденным этапом.

[Dosaev]

ЯСНО! Спасибо всем!