Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?

[alcoholist]

scwec в сообщении #502549 писал(а):

Согласен,однако, гипотеза Пуанкаре здесь, конечно, не при чем.

Она в стартовом сообщении топика

[scwec]

Ну что же, гипотеза Пуанкаре, уже бывшая, теорема Терстона - уже доказана.
Хоть стартопик, хоть НЕ стартопик, дело сделано.
Не надо упираться. Терстон много чего придумал, чего и Вам желаю.

[alcoholist]

scwec

(Оффтоп)

Не будьте дурнем:(

Был вопрос, вернее, заявка на вопрос... я, в меру сил, дал информацию... а Вы троллили

Тут и аксиоматику Евклида обсуждают, и теорему Ферма (доказанную) -- чего и Вам не пожелаю

[Kallikanzarid]

alcoholist в сообщении #502495 писал(а):

Это -- чтение для профессионалов

Не, вот лекции Постникова по основам теории гомотопий - действительно чтение для профессионалов, я сдался на дополнении к лекции 1.

[scwec]

(Оффтоп)

Alcoholist, в свое время на физтехе, где традиционно (и несправедливо) относились к мехматянам как к дурачкам, придумали анекдот примерно такого содержания: а тебе, Вовочка, если не будешь есть кашу, перед сном будем читать страшную сказочку про ашкобордизм.
Хотя, если честно, лучшей книги по дифференциальной топологии найти трудно. Разве что Теория Морса того же Дж.Милнора.

[scwec]

Хоть и не гипотеза Пуанкаре - пусть $x\in{R^n}$ и гладкая функция $V(0)=0, V(x)>0$ при $x\ne{0}$. И пусть $V$ - однородная функция степени $k>0$ и $dV(x)\ne{0}$ при $x\ne{0}$.
Короче, поверхность уровня такой функции гомеоморфна сфере $S^{n-1}$.Верно или нет?

[shwedka]

scwec в сообщении #505219 писал(а):

$dV(x)\ne{0}$

Это условие излишне. По-видимому хватит непрерывности.

[scwec]

Согласен, как говорится, кашу маслом не испортишь. А все таки, каков ответ?

[Kallikanzarid]

scwec
$x \mapsto x^3$.

[g______d]

Kallikanzarid в сообщении #505254 писал(а):

$x \mapsto x^3$.

Нарушается условие $V(x)>0$ при $x\neq 0$.

Предлагается следующее рассуждение. Пусть $x\in S^{n-1}\subset \mathbb R^n$, $|x|=1$. Тогда найдется единственное $\alpha(x)>0$, такое что $V(\alpha(x) x)=1$. Рассмотрим отображение $x\mapsto \alpha(x) x$. По теореме о неявной функции оно непрерывно. Кроме того, оно биекция на свой образ. Поскольку $S^{n-1}$ компактно, это отображение будет гомеоморфизмом как раз между $S^{n-1}$ и линией уровня $\{x\colon V(x)=1\}$.

[scwec]

Очень естественное доказательство. А теперь давайте его развалим, убрав из условия требование однородности $V$.
Поверхность уровня $V$ все равно $S^{n-1}$?

[g______d]

Ну если $V$ просто непрерывная, то любое замкнутое множество может быть ее множеством уровня. По крайней мере если оно не содержит $0$.

Если $V$ гладкая, то таких множеств тоже должно быть достаточно много.

Если $V$ вместо однородности строго монотонна на лучах, проходящих через 0, то вроде бы опять работает теорема о неявной функции (хотя здесь надо уже аккуратнее). Если монотонность нестрогая, то у $V$ могут быть участки, на которых она постоянна, и линия уровня будет даже не подходящей размерности.

[scwec]

Пожалуй, можно предположить, что если $x\in{\mathbb{R}^n}$,$V(x)$ - аналитическая функция,( $V(0)=0$, $V(x)>0,dV(x)\ne{0}$ при $x\ne0$),разложение которой в нуле начинается с положительно-определенной формы, то связные компоненты поверхностей уровня гомеоморфны $S^{n-1}$.

[g______d]

Тоже похоже на правду, но я не специалист в дифференциальной топологии. Не очень понятно, зачем аналитичность.

В окрестности нуля это следует из гладкости, можно просто по лемме Морса ввести такие координаты $y$, что функция будет в них $|y|^2$.

Т. е. линии уровня $\{x\colon V(x)=a\}$ будут диффеоморфны сферам при малых $a$. Теперь применим теорему отсюда

http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theo ... orse_lemma

(первую из двух). Она говорит, что если не встретится новых критических точек (которых нет из условия $dV(x)\neq 0$, при $x\neq 0$), то поверхность уровня останется диффеоморфной сфере.

[shwedka]

g______d в сообщении #505435 писал(а):

Она говорит, что если не встретится новых критических точек (которых нет из условия $dV(x)\neq 0$, при $x\neq 0$), то поверхность уровня останется диффеоморфной сфере.

Не совсем так. Лемма Морса требует, чтобы прообраз интервала при отображении был компактен. Легко нарисовать картинку расположения линий уровня в двумерном случае, когда с ростом уровня окружность преобразуется в некомпактную кривую.
Иначе говоря, если компактифицировать плоскость, то морсовские перестройки могут происходить через критическую точку на бесконечности.
В связи с этим, вспоминаю задачу, обсуждавшуюся на кокой-то студенческой олимпиаде: если гладкая функция двух переменных имеет единственную критическую точку и эта точка - минимум, то верно ли, что функция ограничена снизу. Ответ- неверно.
Представляется, что за счет этого эффекта можно добиваться произвольного гомотопического типа поверхности уровня в многомерной ситуации.