Диофантово уравнение

[Keter]

Решить в целых числах $1+x+x^2+x^3 = 2^y$

Хорошо бы сделать два последовательных числа, но получается только так:

$1+x+x^2(1+x) = (1+x)(1+x^2) = 2^y$

[bnovikov]

Все правильно, Вы уже почти решили, т.к. $x+1$ и $x^2+1$ очень редко одновременно являются степенями двойки.

[Keter]

ну а как это доказать? Понятно, что $x \geqslant -1$, потому что $1+x^2$ будет давать положительное, а $2$ в степени положительное, значит $1+x$ должно быть положительным. Очевидные корни $(0; 0), (1;2)$. Других корней нет. Но как это доказать?

-- 12.11.2011, 00:15 --

Также ясно, что $x$ не может быть чётным, ведь тогда $(1+x)(1+x^2)$ будет нечетное, а $2$ в любой степени - четное.

Остаётся доказать, что не найдутся такие нечетные $x$, кроме единице, которые удовлетворяли бы данному уравнению $(1+x)(1+x^2)=2^y$

[bnovikov]

Перейдите от слов к формулам (все-таки математика, а не история!):

Пусть $x+1=2^n$. Тогда $x^2+1=2^{2n}-2^{n+1}+2=2(2^{2n-1}-2^{n}+1)$, причем последнее выражение должно быть степенью двойки. И т. д.

[Keter]

Как доказать, что если $x=2k+1,$ то $(1+x)(1+x^2)$ не степень двойки?

[svv]

Вот доказательство:

bnovikov писал(а):

Пусть $x+1=2^n$. Тогда $x^2+1=2^{2n}-2^{n+1}+2=2(2^{2n-1}-2^{n}+1)$, причем последнее выражение должно быть степенью двойки.

Должно. Но не является, начиная с $n=2$. Потому что тогда множитель $2^{2n-1}-2^{n}+1$ нечетный и не равен единице. Такое число не может быть делителем степени двойки, поэтому $x^2+1$ не степень двойки.

[RIP]

(Оффтоп)

Ещё можно заметить, что $x^2+1$ сравнимо с 1 или 2 по модулю 4, а среди степеней двойки таких не очень много. И то, что $x+1$ — степень двойки, не по существу.