Дифференцирование в алгебре Ли

[FFFF]

Здравствуйте! Ещё раз прошу помочь разобраться с задачей из "Современной геометрии" Дубровина, Новикова, Фоменко.
Задача - доказать формулу для дифференцирования в алгебре Ли группы $G$: $ad A = \frac{d}{dt} Ad F(t)\vert_{t=0}$, где $ad A (B)=[A,B]$ - дифференцирование, $F(t) = exp(At)$ - однопараметрическое семейство в группе $G$, $Ad: G\rightarrow GL(n)$ - линейное представление $G$, $A$ - элемент алгебры Ли, начальный касательный вектор к $F(t)$. Вот мои соображения: пусть у нас $\psi^\alpha(x,y) = x^\alpha+y^\alpha+b^{\alpha}_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}$ - умножение в $G$, $\phi(x)$ - обратный элемент к $x$. Тогда коммутатор в алгебре Ли $[A,B]^{\alpha} = (b^{\alpha}_{\mu\nu}-b^{\alpha}_{\nu\mu})A^{\mu}B^{\nu}$. Теперь я хочу явно расписать в координатах правую часть доказываемого равенства. Здесь первый вопрос: законно ли залезать с $Ad$ под экспоненту? Я думаю да, т.к. если разложим её в Тейлора, то в каждое слагаемое можно влезть просто по свойству линейного представления. Здесь мне не хватает качественного понимания: если $exp: T_{1}G \rightarrow G$, то раскладывая в Тейлора получаем, что $A$ лежит уже не в алгебре Ли, а группе. Где здесь собака зарыта?=) Вообщем, если так можно сделать, то производная берётся без вопросов, в правой части остаётся $Ad A (B)$. Так как это отображение касательных пространств, то $B$ перейдёт в $B^{\alpha} \rightarrow \frac{\partial f^{\alpha}}{\partial x^{\beta}}B^{\beta}$, где $f^{\alpha}(x) = \psi^{\alpha}(\psi(A,x),\phi(A))$ - внутренний автоморфизм $G$, которому соответствует линейное представление. Вот здесь я и останавливаюсь, т.к. получается, что $B \rightarrow f(B)$, так как производная $f$ "совпадает" с самой $f$. Пожалуйста, укажите на ошибки в рассуждениях и/или дайте ссылочку на литературу по этому вопросу. Также хотелось бы посмотреть можно ли решить задачу без использования координат. Заранее спасибо!

P.S. Прошу прощения за мой кривой TeX-текст=(

[FFFF]

Люди, может хоть книги какие посоветуете? Хочется разобраться.

[Padawan]

Посмотрите Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, $\S$ 54.

[FFFF]

Разобрался. В Понтрягина особо не вчитывался, там более алгебраический подход.