Здравствуйте! Ещё раз прошу помочь разобраться с задачей из "Современной геометрии" Дубровина, Новикова, Фоменко.
Задача - доказать формулу для дифференцирования в алгебре Ли группы

:

, где
![$ad A (B)=[A,B]$ $ad A (B)=[A,B]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/7/a676fc5ad639713d89d112a4ddb6794a82.png)
- дифференцирование,

- однопараметрическое семейство в группе

,

- линейное представление

,

- элемент алгебры Ли, начальный касательный вектор к

. Вот мои соображения: пусть у нас

- умножение в

,

- обратный элемент к

. Тогда коммутатор в алгебре Ли
![$[A,B]^{\alpha} = (b^{\alpha}_{\mu\nu}-b^{\alpha}_{\nu\mu})A^{\mu}B^{\nu}$ $[A,B]^{\alpha} = (b^{\alpha}_{\mu\nu}-b^{\alpha}_{\nu\mu})A^{\mu}B^{\nu}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/6/4961773ab83ce0170cbe1487c9865bca82.png)
. Теперь я хочу явно расписать в координатах правую часть доказываемого равенства. Здесь первый вопрос: законно ли залезать с

под экспоненту? Я думаю да, т.к. если разложим её в Тейлора, то в каждое слагаемое можно влезть просто по свойству линейного представления. Здесь мне не хватает качественного понимания: если

, то раскладывая в Тейлора получаем, что

лежит уже не в алгебре Ли, а группе. Где здесь собака зарыта?=) Вообщем, если так можно сделать, то производная берётся без вопросов, в правой части остаётся

. Так как это отображение касательных пространств, то

перейдёт в

, где

- внутренний автоморфизм

, которому соответствует линейное представление. Вот здесь я и останавливаюсь, т.к. получается, что

, так как производная

"совпадает" с самой

. Пожалуйста, укажите на ошибки в рассуждениях и/или дайте ссылочку на литературу по этому вопросу. Также хотелось бы посмотреть можно ли решить задачу без использования координат. Заранее спасибо!
P.S. Прошу прощения за мой кривой TeX-текст=(