Неаналитическая функция

[nikov]

Существует ли функция, определённая на всей действительной оси, непрерывная, бесконечно-дифференцируемая, монотонная, выпуклая, но не аналитическая ни в одной точке?

[gris]

А для этого достаточно неаналитичности в рациональных точках?

[Oleg Zubelevich]

Рассуждайте в духе post377326.html#p377326

[nikov]

gris в сообщении #501933 писал(а):

А для этого достаточно неаналитичности в рациональных точках?

Да, достаточно. Так как функция, аналитическая в точке $x$, является аналитической в каждой точке некоторой окрестности $x$. А в любой окрестности иррациональной точки найдётся рациональная точка.

[gris]

То есть достаточно построить функцию с нужными свойствами, неаналитическую ровно в одной точке, а потом поскладывать слагаемые вида эта функция, сдвинутая на рациональные числа, с домножением на члены сходящегося ряда. Правда, не знаю, в случае ряда функций не восстановится ли аналитичность.
Если бы не выпуклость, то подошла бы недавно тут теребимая функция $e^{-1/(x-q)^2}$, но она не выпукла, к сожалению.

[ewert]

gris в сообщении #502336 писал(а):

но она не выпукла, к сожалению.

А какая разница, если у суммы равномерно ограничены и первая, и вторая производные.

[gris]

Так вроде бы надо получить выпуклую. Кстати, для монотонности надо, конечно, переопределить слагаемые нулём слева от нуля слагаемого. Но вот как быть с выпуклостью?

[ewert]

Она ведь, можно считать, положительна. Тогда просто умножить на что-нибудь, быстро убывающее на минус бесконечности, и пару раз проинтегрировать от минус бесконечности.

[nikov]

Спасибо всем за ответы. Попробую такой подход.

[Kallikanzarid]

nikov
Да.

[nikov]

Нашёл пример в википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Non-analyt ... l_analytic