Найти предел, который равен е

[Hoaxer]

Задача проста: найти предел $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$, знаю, что он равен е, но вот как это показать понятия не имею. Но в размышлениях отталкивался от того, что $\lim\limits_{n\to\infty} ( 1 + \frac {1}{n} )^{n} = e$.
1. Возпользовавшись неравенством о средних получил: $\sqrt[n]{\frac {n}{1}\frac{n}{2}\frac{n}{3}...\frac{n}{n}}\leq \frac {\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n}}{n}$, далее имеем: $1\leq \sqrt[n]{\frac {n}{1}\frac{n}{2}\frac{n}{3}...\frac{n}{n}}\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ и все, дальше не могу понять как можно ограничить пример двойкой или тройкой для того, что б хоть как-то связать с е.
2. Есть еще мысль посмотреть на определение предела в несколько другом ракурсе. Имеем: $\exists n_{\varepsilon}\geq 1, \forall n > n_{\varepsilon}: |\sqrt[n]{\frac {n}{1}\frac{n}{2}\frac{n}{3}...\frac{n}{n}}| \leq 1+ \frac{1}{\sqrt[n]1!}+\frac{1}{\sqrt[n]2!}+\frac{1}{\sqrt[n]3!}+...+\frac{1}{\sqrt[n]n!}$, далее возводим в n-ую степень и получаем: $|{\frac {1}{1}\frac{1}{2}\frac{n}{3}...\frac{1}{n}}| \leq e^{n} + \varepsilon^{n}$, где $e=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}$, а $\varepsilon>0, \varepsilon $равен всем остальным членам суммы, после возведения в степень. Далее, $|{\frac {1}{1}\frac{1}{2}\frac{n}{3}...\frac{1}{n}}| \leq e^{n} + \varepsilon^{n} \leq (e+\varepsilon)^{n}$$\Longrightarrow |\sqrt[n]{\frac {n}{1}\frac{n}{2}\frac{n}{3}...\frac{n}{n}}| \leq |e + \varepsilon|$ $\Longrightarrow |\sqrt[n]{\frac {n}{1}\frac{n}{2}\frac{n}{3}...\frac{n}{n}}-e| \leq \varepsilon $

Вопрос: подскажите, на что еще можно обратить внимание для нахождения этого предела?

[mad1math]

Я бы воспользовался формулой Стирлинга, если это не смертный грех, если это можно=)

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\eqno (\text{при}\quad n\to\infty)$$

А дальше, после причесывания, $a_n=e^{\ln a_n}$ (о чем вы и сами знаете, судя по #1) и прямая Лопиталевая дорога на Небеса к любимой экспоненте!

P.S. Когда хочется избавиться от бесов от факториала на бесконечности -- формула Стирлинга часто спасает=)

[RIP]

Воспользуйтесь тем, что если для последовательности $a_n>0$ существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=A$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$.

[Hoaxer]

Цитата:

Воспользуйтесь тем, что если для последовательности $a_n>0$ существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=A$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$.

Попробуем: пускай $a_{n} = \frac{n^n}{n!} \Longrightarrow \sqrt[n] a_{n} = \sqrt[n]{\frac {n^n}{n!}}=\frac {n}{\sqrt[n]n!}$, после небольших перевоплощений получаем то, что нужно: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac {n}{\sqrt[n]n!} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)^n}{n!}\frac{n!}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

Спасибо RIP

А в моем записи была хоть крупица логики или здравого смысла?

[MrDindows]

Hoaxer в сообщении #502360 писал(а):

Цитата:

Воспользуйтесь тем, что если для последовательности $a_n>0$ существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=A$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=A$.

Попробуем: пускай $a_{n} = \frac{n^n}{n!} \Longrightarrow \sqrt[n] a_{n} = \sqrt[n]{\frac {n^n}{n!}}=\frac {n}{\sqrt[n]n!}$, после небольших перевоплощений получаем то, что нужно: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac {n}{\sqrt[n]n!} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n+1)^n}{n!}\frac{n!}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$

Спасибо RIP

А в моем записи была хоть крупица логики или здравого смысла?

По-моему, нет=(
Вам нужно найти предел, а вы применяете неравенство между средними, при чём к совершенно различным числам, то есть заведомо получаете намного большее число.

[mad1math]

(Оффтоп)

А чем мой метод плох?!

[mad1math]

ну вот((