Что вообще должно получаться при возведении таких сумм в квадрат?
![$(a_1+a_2+a_3+a_4)^2=(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_1+a_2+a_3+a_4)=$ $(a_1+a_2+a_3+a_4)^2=(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_1+a_2+a_3+a_4)=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de5cea7872b530ed2729e0910be3d72382.png)
![$=a_1 a_1+a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_2+a_2 a_3+a_2 a_4+$ $=a_1 a_1+a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_2+a_2 a_3+a_2 a_4+$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/3/7f3f6caf40e46768b5fc2304aeb9c72e82.png)
![$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_3+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3+a_4 a_4$ $+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_3+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3+a_4 a_4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2caa2467903b42c50d878ad3e1d98dd582.png)
Получили уйму слагаемых вида
![$a_i a_k$ $a_i a_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/4/5b4e04190351407f0fc6bfdceb4013b282.png)
, каждая упорядоченная пара
![$(i, k)$ $(i, k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/8/d4884988a2ffd6d630c920fa8ddfa80482.png)
встречается ровно один раз.
Как придать этому вид, соответствующий задаче? Разделим слагаемые на две группы: вида
![$a_i^2$ $a_i^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/2/022154e092cb61a1bf787149d3df030982.png)
и вида
![$a_i a_k$ $a_i a_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/4/5b4e04190351407f0fc6bfdceb4013b282.png)
,
![$i\neq k$ $i\neq k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/4/d84b0494e107503e8d5c14016424dc2282.png)
:
![$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+$ $(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/d/4ad863aad4f6447b747e0695ec89581a82.png)
![$+(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_3+a_2 a_4+$ $+(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_3+a_2 a_4+$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/0/850baa18fc879c523ea164283879a3e882.png)
![$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3)$ $+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/c/13c3297cbf1dd5d165dc47830766d13782.png)
Замечаем, что в некоторых слагаемых множители отличаются только порядком, поэтому такие слагаемые равны:
![$a_1 a_3=a_3 a_1$ $a_1 a_3=a_3 a_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/c/5ec47618832e77952339c68d55419da282.png)
. Их группируем в пары, и из пары пишем только тот вариант, где
![$i<k$ $i<k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/5/d25c9fb124971c4f9cb06ad1f6995ddb82.png)
, но с коэффициентом 2, чтобы сумма не изменилась. (Вот откуда двойка!)
![$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+2(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_3+a_2 a_4+a_3 a_4)$ $(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+2(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_3+a_2 a_4+a_3 a_4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/f/00f14d7c646d79f796e07a872c85b0ec82.png)
Понятно теперь, что там, в скобках?
![$\sum\limits_{i<k}a_i a_k$ $\sum\limits_{i<k}a_i a_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/c/0ecc966eff342fb8d13d2dc282fb053d82.png)
.