Помогите доказать равенство

[amonrah]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачкой.
Нужно доказать с помощью математической индукции справедливость равенства.
Дано:

$(a_1+a_2+a_3+..+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+2\cdot (a_1\cdota_2+a_1\cdot a_3+..+a_{n-1}\cdot a_n)$

Моя попытка решения:

Проверим справедливость равенства для $n=2$

имеем: $(a_1+a_2)^2= a_{1}^2 + 2\cdot a_{1}\cdot a_{2} + a_{2}^2 $

Предположим теперь, что оно выполняется для любого $k>2$

Но тогда оно должно выполнятся и для $k+1$

Обозначим: $S(k)=a_1+a_2+a_3+..+a_k$ и $P(k)=a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_k^2+2\cdot (a_1\cdota_2+a_1\cdot a_3+..+a_{k-1}\cdot a_k)$

Тогда должно выполнятся: $S(k)^2=P(k)$ а также должно выполнятся $S(k+1)^2-S(k)^2=P(k+1)-P(k)$

Моё решение: $S(k+1)^2-S(k)^2=a_{k+1}^2+a_{k+1}\cdot S(k)$ и $P(k+1)-P(k)= a_{k+1}^2+a_{k+1}\cdot a_k$

Вот такая неувязка, видно что то решил не так.

[Полосин]

Вы неправильно вычислили разность $P(k+1)-P(k)$. Разберитесь с тем, какие слагаемые входят в $P(k)$. И, пожалуйста, следите за русским языком: "оно должно (что делать?) выполняться"; правильно "Вот такая неувязка, видно, что-то решил не так".

[svv]

Замечания от мелких к крупным.
0. Вообще нигде не надо писать точку -- знак умножения.
1. Надо так: "Предположим теперь, что оно выполняется для любого $k \geqslant 2$" (а не $k>2$), иначе Вы даже не сможете перейти от доказанного случая $n=2$ к $n=3$.
2. Дважды написано $a_{12}$, надо $a_1 a_2$.
3. В $S(k+1)^2-S(k)^2=a_{k+1}^2+a_{k+1} S(k)$ потеряна двойка.
4. В $P(k+1)-P(k)= a_{k+1}^2+a_{k+1} a_k$ потеряна целая россыпь слагаемых, в совокупности как раз и равных $2a_{k+1} S(k)$.

К пункту 4. Правильно ли Вы понимаете, что имеется в виду под $a_1 a_2+a_1 a_3+..+a_{n-1} a_n$?

[Someone]

amonrah в сообщении #501797 писал(а):

Предположим теперь, что оно выполняется для любого $k>2$

Неправильно. Должно быть "для некоторого $k\geqslant 2$.

[amonrah]

svv в сообщении #501814 писал(а):

Замечания от мелких к крупным.

4. В $P(k+1)-P(k)= a_{k+1}^2+a_{k+1} a_k$ потеряна целая россыпь слагаемых, в совокупности как раз и равных $2a_{k+1} S(k)$.

К пункту 4. Правильно ли Вы понимаете, что имеется в виду под $a_1 a_2+a_1 a_3+..+a_{n-1} a_n$?

Честно говоря не очень уверен, запутался.

Если я правильно понял, то под $a_1a_2+a_1a_3+...+a_{n-1}a_n$ имеется ввиду сумма: $\sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i$

Насчёт потерянных двоек, то это я просто забыл их написать, в ответе двойки присутствуют.

[svv]

Что вообще должно получаться при возведении таких сумм в квадрат?
$(a_1+a_2+a_3+a_4)^2=(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_1+a_2+a_3+a_4)=$
$=a_1 a_1+a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_2+a_2 a_3+a_2 a_4+$
$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_3+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3+a_4 a_4$
Получили уйму слагаемых вида $a_i a_k$, каждая упорядоченная пара $(i, k)$ встречается ровно один раз.
Как придать этому вид, соответствующий задаче? Разделим слагаемые на две группы: вида $a_i^2$ и вида $a_i a_k$, $i\neq k$:
$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+$
$+(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_3+a_2 a_4+$
$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3)$
Замечаем, что в некоторых слагаемых множители отличаются только порядком, поэтому такие слагаемые равны: $a_1 a_3=a_3 a_1$. Их группируем в пары, и из пары пишем только тот вариант, где $i<k$, но с коэффициентом 2, чтобы сумма не изменилась. (Вот откуда двойка!)
$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+2(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_3+a_2 a_4+a_3 a_4)$
Понятно теперь, что там, в скобках? $\sum\limits_{i<k}a_i a_k$.

[amonrah]

svv в сообщении #502102 писал(а):

Что вообще должно получаться при возведении таких сумм в квадрат?
$(a_1+a_2+a_3+a_4)^2=(a_1+a_2+a_3+a_4)(a_1+a_2+a_3+a_4)=$
$=a_1 a_1+a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_2+a_2 a_3+a_2 a_4+$
$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_3+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3+a_4 a_4$
Получили уйму слагаемых вида $a_i a_k$, каждая упорядоченная пара $(i, k)$ встречается ровно один раз. Как придать этому вид, соответствующий задаче? Разделим слагаемые на две группы: вида $a_i^2$ и вида $a_i a_k$, $i\neq k$:
$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+$
$+(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_1+a_2 a_3+a_2 a_4+$
$+a_3 a_1+a_3 a_2+a_3 a_4+a_4 a_1+a_4 a_2+a_4 a_3)$
Замечаем, что в некоторых слагаемых множители отличаются только порядком, поэтому такие слагаемые равны: $a_1 a_3=a_3 a_1$. Их группируем их в пары, и из пары пишем только тот вариант, где $i<k$, но с коэффициентом 2, чтобы сумма не изменилась. (Вот откуда двойка!)
$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)+2(a_1 a_2+a_1 a_3+a_1 a_4+a_2 a_3+a_2 a_4+a_3 a_4)$
Понятно теперь, что там, в скобках? $\sum\limits_{i<k}a_i a_k$.

спасибо, понял :)