Помогите применить прямое и обратное преобразование фурье.

[innocent_rifle]

Функция: дробная часть от X

$f(x)= x - [x]$

помогите пожалуйста применить прямое и обратное преобразование Фурье. Очень прошу объяснить подробно ибо в математике не силен.

[vladiko]

А может лучше ряд Фурье? Функция то периодическая.
Гуглить на тему ряды Фурье. И Sawtooth wave для данного случая.

[innocent_rifle]

В ряд функцию я уже раскладывал. Теперь нужно именно преобразование, прямое и обратное.
По запросу sawtooth wave гугл находит только разложение в ряд. Ничего толкового найти так и не смог.

[ewert]

Ряд Фурье можно формально представить как интеграл Фурье от суммы соответствующим образом сдвинутых дельта-функций, умноженных на коэффициенты Фурье. Соответственно, преобразование Фурье периодического сигнала (не существующее в классическом смысле) и будет формально равняться вот той суммой дельта-функций.

[innocent_rifle]

Можете подсказать в какую сторону гуглить? Где вообще можно почитать о представлении функции в виде суммы сдвинутых дельта-функций? Кэффициенты Фурье те же что используются при разложении в ряд?

[profrotter]

innocent_rifle в сообщении #502033 писал(а):

Можете подсказать в какую сторону гуглить? Где вообще можно почитать о представлении функции в виде суммы сдвинутых дельта-функций? Кэффициенты Фурье те же что используются при разложении в ряд?

Смотреть сообщение #487995 и сообщение #496712 и гуглить, наверное, "спектральная плотность периодического сигнала".

[ewert]

Ладно, формализуем. Если функция периодична с периодом $T$ и разложена в ряд Фурье: $f(x)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{i\frac{2\pi kx}{T}}$, то формально $f(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ipx}\widetilde f(p)\,dp$, где $\widetilde f(p)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}c_k\delta(p-\frac{2\pi k}{T})$. Соответственно, и прямое преобразование Фурье исходной функции $\widetilde f(p)\equiv\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ipx}f(x)\,dx$ формально даётся вот именно тем рядом из дельта-функций. Вот и всё. Формально.

Имеет ли это какое-либо отношение к практике?... Безусловно. На практике преобразованиям Фурье подвергаются какие-то квазипериодические сигналы. Например, полученные из периодического навешиванием на него почти постоянной, но всё же стремящейся к нулю на бесконечности амплитуды; или цуг из очень большого, но конечного количества периодов. Тогда спектр, отвечающий непрерывному преобразованию Фурье такого сигнала, представляет собой цепочку очень острых пиков, сосредоточенных вблизи кратных гармоник. В каком смысле вблизи -- зависит от реализации; но, во всяком случае, чем ближе сигнал к чисто периодическому, тем острее пики, и в любом случае это вполне жизненно и в пределе стремится к тому ряду из дельта-функций. Формальное же обоснование предельного перехода -- это, естественно, прерогатива теории обобщённых функций.

[profrotter]

ewert в сообщении #502213 писал(а):

Имеет ли это какое-либо отношение к практике?... Безусловно. На практике преобразованиям Фурье подвергаются какие-то квазипериодические сигналы. Например, полученные из периодического навешиванием на него почти постоянной, но всё же стремящейся к нулю на бесконечности амплитуды;

В этом случае будет только один пик.

ewert в сообщении #502213 писал(а):

или цуг из очень большого, но конечного количества периодов. Тогда спектр, отвечающий непрерывному преобразованию Фурье такого сигнала, представляет собой цепочку очень острых пиков, сосредоточенных вблизи кратных гармоник. В каком смысле вблизи -- зависит от реализации; но, во всяком случае, чем ближе сигнал к чисто периодическому, тем острее пики, и в любом случае это вполне жизненно и в пределе стремится к тому ряду из дельта-функций.

Формализуем . Обозначим $s_p(t)$ - периодический синал с периодом $T$. Соответствующий ему непериодический сигнал

$$s(t)=\begin{cases} s_p(t),&|t|\leq \frac T 2\\ 0,&|t|>\frac T 2\\ \end{cases} $$

"Цуг из конечного числа $2N+1$ периодов":

$$s_N(t)=\sum\limits_{n=-N}^{N}s(t-nT).$$

Преобразование Фурье $F\{ \cdot \}$ для цуга (с учётом свойств линейности и временного запаздывания):

$$S_N(\omega)=F \{ \sum\limits_{n=-N}^{N}s(t-nT) \}=S(\omega)\sum\limits_{n=-N}^{N}e^{-i\omega nT},$$

где $S(\omega)$ спектральная плотность сигнала $s(t)$. Рассмотрим отдельно множитель: $\sum\limits_{n=-N}^{N}e^{-i\omega nT}$ - он представляет собою частичную сумму $2N+1$ первых членов геометрической прогресси с начальным членом $e^{i\omega NT}$ и знаменателем $e^{-i\omega T}$, то есть:

$$\sum\limits_{n=-N}^{N}e^{-i\omega nT}=e^{i\omega NT}\frac {1-e^{-i\omega (2N+1)T}} {1-e^{-i\omega T}}=\frac {e^{i\omega NT}-e^{-i\omega (N+1)T}} {1-e^{-i\omega T}}\frac {e^{i\frac{\omega T} {2}}}{e^{i\frac{\omega T} {2}}}=$$

$$=\frac {e^{i\omega \frac{2N+1}{2}T}-e^{-i\omega \frac{2N+1}{2}T}} {e^{i\frac{\omega T} {2}}-e^{-i\frac{\omega T} {2}}}=\frac {\sin(\frac {2N+1}{2}\omega T)} {\sin (\frac {\omega T}{2})}.$$

Соответственно спектральная плотность цуга теперь:

$$S_N(\omega)=S(\omega)\frac {\sin(\frac {2N+1}{2}\omega T)} {\sin (\frac {\omega T}{2})}.$$

Дело за малым - осталось посмотреть на поведение множителя $\sum\limits_{n=-N}^{N}e^{-i\omega nT}=\frac {\sin(\frac {2N+1}{2}\omega T)} {\sin (\frac {\omega T}{2})}$ при разных $N$ (он же ядро Дирихле или функция Дирихле или связан с ними - точно не помню). То, что он переходит в последовательность $\delta$ - импульсов видно в сообщении #496712 см. там формулу (*)). Вот, кстати, и картинки:

Абсциссы пиков кратны значениям $\frac {2\pi}{T}$, максимумы в пиках достигают значений $2N+1$.

[profrotter]

profrotter в сообщении #502290 писал(а):

ewert в сообщении #502213 писал(а):

Имеет ли это какое-либо отношение к практике?... Безусловно. На практике преобразованиям Фурье подвергаются какие-то квазипериодические сигналы. Например, полученные из периодического навешиванием на него почти постоянной, но всё же стремящейся к нулю на бесконечности амплитуды;

В этом случае будет только один пик.

ewert, странно, что Вы ничего не возразили. Я тут грешным делом ваше "квазипериодические" прочитал как "квазигармонические" и писал применительно к последним. Тут тоже формализуем. Пусть $v(t)$ затухающий множитель, его спектральная плотность $V(\omega)$. Рассматриваем сигнал

$$u(t)=v(t)s_p(t).$$

Его спектральную плотность найдём как свёртку спектральных плотностей затухающего множителя и периодического сигнала:

$$U(\omega)=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}V(\omega-\omega')S_p(\omega')d\omega'=\frac 1 {T}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}V(\omega-\omega')\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}S(\omega')\delta(\omega'-\omega_n)d\omega'=$$

$$=\frac 1 {T}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}V(\omega-\omega')S(\omega')\delta(\omega'-\omega_n)d\omega',$$

где $S(\omega)$ - спектральная плотность соответствующего непериодического сигнала, $\omega_n=\frac {2\pi n}{T}$. С учётом фильтрующего свойства $\delta$ - функции:

$$U(\omega)=\frac 1 {T}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}S(\omega_n)V(\omega-\omega_n).$$

Спектр периодического сигнала с "навешенной убывающей амплитудой" представляет собою последовательность копий спектра затухающего множителя, умноженных на значения $S(\omega_n)$ повторяющихся с периодом $\omega_1=\frac {2\pi}{T}$. В случае, когда множитель затухает медленно, ширина его спектра гораздо меньше $\omega_1$ и эти копии спектра выглядят как пики.
В качестве примера рассмотрим $v(t)=\sigma (t) e^{-\alpha t}$, $V(\omega)=\frac 1 {\alpha +i \omega}$, $|V(\omega)|=\frac 1 {\sqrt{\alpha^2 +\omega^2}}$, $\alpha << \omega_1$. Примерный (схематичный) рисунок для амплитудного спектра: