Отображение $f$- замкнуто тогда и только тогда, когда...

[xmaister]

Здравствуйте! Помогите доказать, что непрерывное отображение $f$ пространства $A(\mathfrak{m})$ на некоторое пространство $Y$ замкнуто тогда и только тогда, когда $Y$- хаусдорфово.

В случае, если $f$- замкнуто и $Y$- бесконечное, тогда $Y$ гомеоморфно $A(\mathfrak{n}),\mathfrak{n}\le\mathfrak{m}$, тогда $Y$- хаусдорфово. Если $Y$- конечно, тогда $Y$- дискретное пространство, значит и хаусдорфово.

В случае, если $Y$- хаусдорфово я использовал критерий замкнутости отображения: $f\left(\overline{A}\right)=\overline{f(A)}$. Включение $f\left(\overline{A}\right)\subset\overline{f(A)}$ очевидно. Обратное пытаюсь доказать $y\in\overline{f(A)}\Leftrightarrow U_{y}\cap f(A)\ne\varnothing$. Дальше не понятно. Наверное надо использовать то, что $Y$- хаусдорфово.

Благодарю

[Someone]

Вы уже доказали, что если $f$ замкнуто, то $Y$ хаусдорфово. Попробуйте теперь доказать, что если $f$ не замкнуто, то $Y$ не хаусдорфово. А то Вы что-то непонятное пытаетесь доказать. $y\in\overline{f(A)}\Leftrightarrow\forall U_y(U_{y}\cap f(A)\ne\varnothing)$ - это определение замыкания, и доказывать его не надо.

[xmaister]

Someone в сообщении #501724 писал(а):

$y\in\overline{f(A)}\Leftrightarrow\forall U_y(U_{y}\cap f(A)\ne\varnothing)$ - это определение замыкания, и доказывать его не надо.

Я не пытался доказать определение замыкания. Хотел доказать что из него и из того, что $Y$- хаусдорфово следует, что $\overline{f(A)}\subset f(\overline{A})$.

[Someone]

Но написали-то Вы определение замыкания.

[xmaister]

Someone
Но я ничего не знаю про топологию на $Y$.Знаю только, что на $Y$ можно непрерывно отобразить $A(\mathfrak{m})$.

[neo66]

А, что такое пространство $A(\mathfrak{m})$?

[xmaister]

neo66
Простраснтво $A(\mathfrak{m})$ состоит из некоторого множества $X$ мощности $\mathfrak{m}$ и семейства открытых подмножеств не содержащих некоторую точку $x_0\in X$ или имеющих конечное дополнение.
Someone
Нашёл утверждение, только доказать его не получилось: Каждое непрерывное отображение компактного простраснтва в хаудорфово пространство- замкнуто. $A(\mathfrak{m})$- компактно по определению. Тогда $f$- замкнуто.

[Someone]

xmaister в сообщении #502024 писал(а):

Каждое непрерывное отображение компактного простраснтва в хаудорфово пространство- замкнуто. $A(\mathfrak{m})$- компактно по определению. Тогда $f$- замкнуто.

Не совсем правильно рассуждаете. Вы уже доказали, что если $f$ замкнуто, то $Y$ хаусдорфово, теперь Вам надо доказать, что если $f$ не замкнуто, то $Y$ не хаусдорфово (Вы ведь эквивалентность этих двух свойств доказываете). От противного: если $f$ не замкнуто, то, так как $A(\mathfrak{m})$ компактно, то $Y$ не хаусдорфово, поскольку в противном случае $f$ было бы замкнутым по процитированной теореме.

xmaister в сообщении #502024 писал(а):

доказать его не получилось

Это утверждение следует из того, что компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
Впрочем, в данном конкретном случае проще напрямую доказать, что если $f$ не замкнуто, то $Y$ не хаусдорфово, поскольку доказательство того, что я сформулировал, гораздо длиннее.

[xmaister]

Someone в сообщении #502043 писал(а):

Вы уже доказали, что если замкнуто, то хаусдорфово

Ну да. Теперь хочу доказать, что если $Y$- хаусдорфово, то $f$ -замкнуто.

Someone в сообщении #502043 писал(а):

Не совсем правильно рассуждаете.

Я не понимаю, почему? $A(\mathfrak{m})$- компактно. $Y$- хаусдорфово. Тогда $f: A(\mathfrak{m})\to Y$- замкнуто по той теореме.
Я же провёл в итоге рассуждения в прямую и обратную сторону. Почему так будет не верно? Ведь $\left(\overline{p}\Rightarrow\overline{q}\right)\Leftrightarrow \left(q\Rightarrow p\right)$- тавтология.

[Someone]

Да, я, наверное, слишком "зациклился" на одном варианте.